Uma variável tem média 200 e desvio padrão 12 na população, com uma distribuição bastante assimétrica. Imagine que serão retiradas amostras aleatórias de 2 elementos desta população.
a) Encontre a média das médias amostrais. (R. 200)
b) Encontre o desvio padrão das médias amostrais (R. 8,485)
c) A distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal? JUSTIFIQUE.
a) Encontre a média das médias amostrais. (R. 200)
b) Encontre o desvio padrão das médias amostrais (R. 8,485)
c) A distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal? JUSTIFIQUE.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, com os números que você forneceu:
- Informação da população:
- média populacional
. - desvio padrão populacional
. - a distribuição populacional é bastante assimétrica (ou seja, nao é aproximadamente normal).
- média populacional
- Amostragem:
- tamanho da amostra
. - as amostras são retiradas aleatoriamente (assumimos observações independentes).
- tamanho da amostra
- O enunciado pede:
- (a) encontrar a média das médias amostrais;
- (b) encontrar o desvio padrão das médias amostrais;
- (c) dizer se a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal e justificar.
Passo 2
Definição e objetivo do cálculo da média amostral.
- Seja
e as duas observações independentes retiradas da população. - A média amostral é a variável aleatória
- O que queremos em (a) é
, a esperança (média) dessa variável. Aqui cada tem esperança .
Passo 3
Cálculo da média das médias amostrais usando linearidade da esperança.
- Princípio usado: a esperança é linear, isto é, para quaisquer constantes
e variáveis vale . - Aplicando a
:
- Como
, vem
- Substituindo
obtém-se a resposta para (a): .
Passo 4
Fórmula da variância (ou desvio padrão) da média amostral e justificativa.
- Queremos o desvio padrão de
, isto é . - Para variância, usando que
e são independentes e , temos:
- Como
, isto é
- Portanto o desvio padrão (erro padrão) é
Passo 5
Cálculo numérico do desvio padrão quando
.
- Substituindo
na fórmula obtém-se
- Usando
, faz-se a divisão
- Arredondando conforme a resposta esperada, fica
. Isso responde (b).
Passo 6
Discussão sobre normalidade da distribuição das médias amostrais (justificativa para (c)).
- Teorema relevante (explicado de modo simples): o Teorema Central do Limite (TCL) diz que, para amostras independentes e identicamente distribuídas com média finita e variância finita, a distribuição da média amostral
tende a uma normal quando o tamanho da amostra cresce. Em palavras: médias de amostras grandes ficam aproximadamente normais, mesmo que a população não seja. - Importante: se a população já é normal, então
é exatamente normal para qualquer . Mas aqui a população é bastante assimétrica (não normal). - Regra prática: para populações com forte assimetria, é necessário um
razoavelmente grande (muitas vezes como regra de bolso) para que o TCL torne a distribuição da média aproximadamente normal. Com essa aproximação NÃO é confiável. - Conclusão: como
e a população é bastante assimétrica, a distribuição da média amostral NÃO será aproximadamente normal. A média terá média e desvio padrão calculados acima, mas sua forma será ainda claramente assimétrica (embora um pouco menos que a da população), e não uma curva em forma de sino.
Passo 7
Resumo rápido e motivador
- Resultado prático: a média amostral centraliza em
(sem viés) e sua dispersão cai com como . No entanto, atenção à forma da distribuição: para amostras muito pequenas, não se pode assumir normalidade se a população for muito assimétrica — cuidado na aplicação de testes que exigem normalidade.
Resposta
a)
b)
c) Não.
b)
c) Não.