Uma variável tem média 200 e desvio padrão 12 na população, com uma distribuição bastante assimétrica. Imagine que serão retiradas amostras aleatórias de 2 elementos desta população.
a) Encontre a média das médias amostrais. (R. 200)
b) Encontre o desvio padrão das médias amostrais (R. 8,485)
c) A distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal? JUSTIFIQUE.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, com os números que você forneceu:
  • Informação da população:
    • média populacional \mu = 200.
    • desvio padrão populacional \sigma = 12.
    • a distribuição populacional é bastante assimétrica (ou seja, nao é aproximadamente normal).
  • Amostragem:
    • tamanho da amostra n = 2.
    • as amostras são retiradas aleatoriamente (assumimos observações independentes).
  • O enunciado pede:
    • (a) encontrar a média das médias amostrais;
    • (b) encontrar o desvio padrão das médias amostrais;
    • (c) dizer se a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal e justificar.

Passo 2

Definição e objetivo do cálculo da média amostral.
  • Seja X_1 e X_2 as duas observações independentes retiradas da população.
  • A média amostral é a variável aleatória
\bar{X}=\frac{X_1+X_2}{2}.
  • O que queremos em (a) é \mathbb{E}(\bar{X}), a esperança (média) dessa variável. Aqui cada X_i tem esperança \mathbb{E}(X_i)=\mu.

Passo 3

Cálculo da média das médias amostrais usando linearidade da esperança.
  • Princípio usado: a esperança é linear, isto é, para quaisquer constantes a,b e variáveis Y,Z vale \mathbb{E}(aY+bZ)=a\mathbb{E}(Y)+b\mathbb{E}(Z).
  • Aplicando a \bar{X}:
\mathbb{E}(\bar{X})=\mathbb{E}\!\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)=\frac{1}{2}\mathbb{E}(X_1)+\frac{1}{2}\mathbb{E}(X_2).
  • Como \mathbb{E}(X_1)=\mathbb{E}(X_2)=\mu, vem
\mathbb{E}(\bar{X})=\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{2}\mu=\mu.
  • Substituindo \mu=200 obtém-se a resposta para (a): \mathbb{E}(\bar{X})=200.

Passo 4

Fórmula da variância (ou desvio padrão) da média amostral e justificativa.
  • Queremos o desvio padrão de \bar{X}, isto é \operatorname{sd}(\bar{X})=\sqrt{\operatorname{Var}(\bar{X})}.
  • Para variância, usando que X_1 e X_2 são independentes e \operatorname{Var}(aY)=a^2\operatorname{Var}(Y), temos:
\operatorname{Var}(\bar{X})=\operatorname{Var}\!\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)=\frac{1}{4}\operatorname{Var}(X_1)+\frac{1}{4}\operatorname{Var}(X_2).
  • Como \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2, isto é
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{1}{4}\sigma^2+\frac{1}{4}\sigma^2=\frac{1}{2}\sigma^2.
  • Portanto o desvio padrão (erro padrão) é
\operatorname{sd}(\bar{X})=\sqrt{\operatorname{Var}(\bar{X})}=\sqrt{\frac{1}{2}\sigma^2}=\frac{\sigma}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Cálculo numérico do desvio padrão quando \sigma=12.
  • Substituindo \sigma=12 na fórmula \operatorname{sd}(\bar{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{2}} obtém-se
\operatorname{sd}(\bar{X})=\frac{12}{\sqrt{2}}.
  • Usando \sqrt{2}\approx1{,}41421356, faz-se a divisão
\frac{12}{\sqrt{2}}\approx\frac{12}{1{,}41421356}\approx8{,}485281374\ldots
  • Arredondando conforme a resposta esperada, fica \operatorname{sd}(\bar{X})\approx8{,}485. Isso responde (b).

Passo 6

Discussão sobre normalidade da distribuição das médias amostrais (justificativa para (c)).
  • Teorema relevante (explicado de modo simples): o Teorema Central do Limite (TCL) diz que, para amostras independentes e identicamente distribuídas com média finita e variância finita, a distribuição da média amostral \bar{X} tende a uma normal quando o tamanho da amostra n cresce. Em palavras: médias de amostras grandes ficam aproximadamente normais, mesmo que a população não seja.
  • Importante: se a população já é normal, então \bar{X} é exatamente normal para qualquer n. Mas aqui a população é bastante assimétrica (não normal).
  • Regra prática: para populações com forte assimetria, é necessário um n razoavelmente grande (muitas vezes n\ge30 como regra de bolso) para que o TCL torne a distribuição da média aproximadamente normal. Com n=2 essa aproximação NÃO é confiável.
  • Conclusão: como n=2 e a população é bastante assimétrica, a distribuição da média amostral NÃO será aproximadamente normal. A média terá média e desvio padrão calculados acima, mas sua forma será ainda claramente assimétrica (embora um pouco menos que a da população), e não uma curva em forma de sino.

Passo 7

Resumo rápido e motivador
  • Resultado prático: a média amostral centraliza em \mu (sem viés) e sua dispersão cai com n como \sigma/\sqrt{n}. No entanto, atenção à forma da distribuição: para amostras muito pequenas, não se pode assumir normalidade se a população for muito assimétrica — cuidado na aplicação de testes que exigem normalidade.

Resposta

a) 200
b) 8{,}485
c) Não.

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