Sabe-se que a média dos preços de certo produto, nos estabelecimentos comerciais de uma região, é de \mathrm{R} 78,00 com desvio padrão deã\mathrm{R} 12,00. Se uma amostra de 100 estabelecimentos dessa região for sorteada para avaliar o preço desse produto, qual é a probabilidade de que a média dessa amostra:
Seja inferior a \mathrm{R} 77,00$ ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que a média amostral seja inferior a \text{R}\$\,77{,}00?
  • Informações fornecidas:
    • Média populacional \mu = \text{R}\$\,78{,}00.
    • Desvio padrão populacional \sigma = \text{R}\$\,12{,}00.
    • Tamanho da amostra n = 100.

Passo 2

Entendendo a distribuição da média amostral (a ideia principal):
  • Quando sorteamos uma amostra de tamanho n de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} tem média igual a \mu e desvio padrão (erro padrão) igual a \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Fórmula do erro padrão:
\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
onde:
  • \sigma é o desvio padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \text{SE} é o desvio padrão da distribuição de \overline{X}.
  • Como n=100 é grande, podemos usar o Teorema Central do Limite: a distribuição de \overline{X} é aproximadamente normal, com média \mu e desvio padrão \text{SE}.

Passo 3

Calcular o erro padrão com os números dados:
\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{100}} = \frac{12}{10} = 1{,}2
Portanto \overline{X} \sim \text{aprox. } N\bigl(78,\;1{,}2^2\bigr).

Passo 4

Padronizar o evento pedido para usar a tabela da normal padrão:
  • Queremos P\bigl(\overline{X}<77\bigr).
  • Calculamos o escore-z:
z = \frac{77 - \mu}{\text{SE}} = \frac{77 - 78}{1{,}2} = \frac{-1}{1{,}2} = -0{,}833333\ldots
Assim
P\bigl(\overline{X}<77\bigr) = P\bigl(Z < -0{,}8333\bigr),
onde Z segue a normal padrão N(0,1).

Passo 5

Obter a probabilidade a partir da normal padrão:
  • Pela simetria da normal, P(Z< -0{,}8333)=1-P(Z<0{,}8333).
  • Usando tabela da normal padrão (ou calculadora), P(Z<0{,}8333)\approx 0{,}7976.
  • Logo
P\bigl(\overline{X}<77\bigr)\approx 1-0{,}7976 = 0{,}2024.
Interpretação: cerca de 20{,}24\% de chance de a média amostral ficar abaixo de \text{R}\$\,77{,}00.

Resposta

0{,}2024
20{,}24\%

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