Uma amostra aleatória de tamanho n=2 de uma variável aleatória de Poisson (lambda), resultou nas seguintes observações: x1=1 e x2=2. Calcule a estimativa de máxima verossimilhança para o parâmetro lambda.

Passo 1

Então, bacana: a gente tem uma amostra bem pequenininha (n=2) de uma variável que segue Poisson com parâmetro lambda. As observações foram x1=1 e x2=2. O conteúdo aqui é estimação de parâmetros pelo método da máxima verossimilhança (MLE). Pra resolver, vamos precisar:
  • Saber a função massa de probabilidade (pmf) da Poisson.
  • Montar a função verossimilhança (produto das pmfs).
  • Passar pro log para simplificar (log-verossimilhança).
  • Derivar em relação a lambda, igualar a zero e resolver.

Passo 2

Primeiro, lembrando a pmf da Poisson:
P(X=x)=e^-lambda,lambda^xx!
Como temos duas observações independentes, a verossimilhança é o produto:
L(lambda)=P(X1=1)cdot P(X2=2) =e^-lambda,lambda^11!;times;e^-lambda,lambda^22!

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão:
L(lambda) =e^-2lambda,lambda^1+21!,2! =e^-2lambda,lambda^32
Agora, pra tornar a derivada mais fácil, pegamos o logaritmo (log-verossimilhança):
ell(lambda)=ln L(lambda) =lnl(e^-2lambdar)+lnl(lambda^3r)-ln(2) =-2lambda+3lnlambda-ln 2

Passo 4

A gente deriva ell(lambda) em relação a lambda e iguala a zero:
delldlambda =-2+3lambda ;=;0
Isso dá
-2+3lambda=0 Longrightarrow 3lambda=2 Longrightarrow lambda=32

Resposta

A estimativa de máxima verossimilhança para lambda é hatlambda=32=1,5

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