Uma amostra aleatória de tamanho
de uma variável aleatória de Poisson
, resultou nas seguintes observações:
e
. Calcule a estimativa de máxima verossimilhança para o parâmetro
.
Passo 1
Então, bacana: a gente tem uma amostra bem pequenininha (n=2) de uma variável que segue Poisson com parâmetro
. As observações foram
e
. O conteúdo aqui é estimação de parâmetros pelo método da máxima verossimilhança (MLE). Pra resolver, vamos precisar:
- Saber a função massa de probabilidade (pmf) da Poisson.
- Montar a função verossimilhança (produto das pmfs).
- Passar pro log para simplificar (log-verossimilhança).
- Derivar em relação a
, igualar a zero e resolver.
Passo 2
Primeiro, lembrando a pmf da Poisson:
Como temos duas observações independentes, a verossimilhança é o produto:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, pra tornar a derivada mais fácil, pegamos o logaritmo (log-verossimilhança):
Passo 4
A gente deriva
em relação a
e iguala a zero:
Isso dá
Resposta
A estimativa de máxima verossimilhança para
é