Seja (X1, X2, ldots, Xn) uma amostra aleatória de uma população com média mu e variância sigma^2 e seja S^2 o estimador de sigma^2.
a) Mostre que:
E[raizn(barX-mu)sigma]=0 e Var[raizn(barX-mu)sigma]=1.
b) Qual é a distribuição da variável aleatória do item (a)?
c) Resultados de que teorema você utilizou para resolver o item a)?
d) Descreva com suas palavras o teorema utilizado.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma amostra aleatória X1,dots,Xn de uma população com média mu e variância sigma^2, e define S^2 como estimador de sigma^2. Precisamos:
  • Item (a): mostrar que$$E!\Bigl[\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu)}{\sigma}\Bigr]=0,\quad\mathrm{Var}!\Bigl[\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu)}{\sigma}\Bigr]=1.$$
    - (b) dizer qual a distribuição dessa variável.
    - © dizer de que teorema usamos para (a).
    - (d) descrever esse teorema com nossas palavras.
Para isso vamos usar conceitos básicos de estatística:
  1. Definição de esperança e variância.
  2. Propriedades lineares de E!l[raizn(bar X-mu)sigmar]=0, Var!l[raizn(bar X-mu)sigmar]=1 e E[cdot].
  3. Independência para somar variâncias.
  4. (No item b) Teorema do Limite Central ou, se a população for normal, a propriedade de combinação linear de normais.

Passo 2

Queremos calcular
E!l[raizn(bar X-mu)sigmar]
Lembra que bar X=(1/n)sumi=1^n Xi. Então, usando linearidade de esperança:
1) E[bar X]=1nsum E[Xi]=1ncdot nmu=mu.
2) E[aY]=a,E[Y] para a constante. Aqui a=raiz n/sigma e Y=bar X-mu, então
$$E!\Bigl[\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu)}{\sigma}\Bigr]
=\frac{\sqrt n}{\sigma}\bigl(E[\bar X]-\mu\bigr)
=\frac{\sqrt n}{\sigma}(\mu-\mu)=0.$$

Passo 3

Agora a variância:
$$\mathrm{Var}!\Bigl[\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu)}{\sigma}\Bigr]
=\Bigl(\frac{\sqrt n}{\sigma}\Bigr)^2\mathrm{Var}(\bar X). Var!l[raizn(bar X-mu)sigmar] =l(raiz nsigmar)^2Var(bar X)ê\mathrm{Var}(\bar X)
=\mathrm{Var}\Bigl(\frac1n\sum_{i=1}^n X_i\Bigr)
=\frac1{n2}\sum_{i=1}n\mathrm{Var}(X_i)
=\frac1{n^2}\cdot n\sigma^2
=\frac{\sigma^2}{n}. Var(bar X) =Varl(1nsumi=1^n Xir) =1n^2sumi=1^nVar(Xi) =1n^2cdot nsigma^2 =sigma^2n\mathrm{Var}!\Bigl[\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{\sigma}\Bigr]
=\frac{n}{\sigma2}\cdot\frac{\sigma2}{n}
=1.$$

Passo 4

Qual é a distribuição da v.a.
Z=raizn(bar X-mu)sigma;?
- Se a população for Normal (mu,sigma^2), então bar Xsim N(mu,sigma^2/n) e qualquer combinação linear de normais é normal. Aí Zsim N(0,1) exatamente.
- Se a população for arbitrária com variância finita, pelo Teorema do Limite Central temos que, para n grande, ZstackreldlongrightarrowN(0,1).
Ou seja, de todo jeito a distribuição é (ou se aproxima) da Normal padrão.

Passo 5

O teorema usado para resolver o item (a) é o conjunto de propriedades da esperança e variância de combinações lineares de variáveis independentes, em particular:
  1. E[aX+b]=a,E[X]+b.
  2. Var(aX)=a^2Var(X).
  3. Se Xi são independentes, Var(sum Xi)=sum Var(Xi).

Passo 6

Em outras palavras, esse “teorema” diz que:
  • A esperança de uma soma ponderada de variáveis é a soma ponderada das esperanças.
  • A variância de uma variável multiplicada por constante a é a^2 vezes a variância original.
  • E, se as variáveis são independentes, a variância de uma soma é a soma das variâncias.

Resposta

a) El[raizn(bar X-mu)sigmar]=0 e Varl[raizn(bar X-mu)sigmar]=1.
b) Z=raizn(bar X-mu)sigma tem distribuição Normal padrão N(0,1) (exatamente se Xi forem normais; aproximada por CLT caso geral).
c) Usei o teorema das propriedades de esperança e variância de combinações lineares de variáveis independentes.
d) Ele afirma que E[aX+b]=aE[X]+b, Var(aX)=a^2Var(X), e que variâncias se somam em variáveis independentes.

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