Seja
uma amostra aleatória de uma população com média
e variância
e seja
o estimador de
.
a) Mostre que:
e
.
b) Qual é a distribuição da variável aleatória do item (a)?
c) Resultados de que teorema você utilizou para resolver o item a)?
d) Descreva com suas palavras o teorema utilizado.
a) Mostre que:
b) Qual é a distribuição da variável aleatória do item (a)?
c) Resultados de que teorema você utilizou para resolver o item a)?
d) Descreva com suas palavras o teorema utilizado.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma amostra aleatória
de uma população com média
e variância
, e define
como estimador de
. Precisamos:
- Item (a): mostrar que$$E!\Bigl[\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu)}{\sigma}\Bigr]=0,\quad\mathrm{Var}!\Bigl[\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu)}{\sigma}\Bigr]=1.$$
- (b) dizer qual a distribuição dessa variável.
- © dizer de que teorema usamos para (a).
- (d) descrever esse teorema com nossas palavras.
Para isso vamos usar conceitos básicos de estatística:
- Definição de esperança e variância.
- Propriedades lineares de
e . - Independência para somar variâncias.
- (No item b) Teorema do Limite Central ou, se a população for normal, a propriedade de combinação linear de normais.
Passo 2
Queremos calcular
Lembra que
1)
2)
$$E!\Bigl[\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu)}{\sigma}\Bigr]
=\frac{\sqrt n}{\sigma}\bigl(E[\bar X]-\mu\bigr)
=\frac{\sqrt n}{\sigma}(\mu-\mu)=0.$$
Passo 3
Agora a variância:
$$\mathrm{Var}!\Bigl[\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu)}{\sigma}\Bigr]
=\Bigl(\frac{\sqrt n}{\sigma}\Bigr)^2\mathrm{Var}(\bar X).
\mathrm{Var}(\bar X)
=\mathrm{Var}\Bigl(\frac1n\sum_{i=1}^n X_i\Bigr)
=\frac1{n2}\sum_{i=1}n\mathrm{Var}(X_i)
=\frac1{n^2}\cdot n\sigma^2
=\frac1{n2}\sum_{i=1}n\mathrm{Var}(X_i)
=\frac1{n^2}\cdot n\sigma^2
=\frac{\sigma^2}{n}.
\mathrm{Var}!\Bigl[\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{\sigma}\Bigr]
=\frac{n}{\sigma2}\cdot\frac{\sigma2}{n}
=1.$$
Passo 4
Qual é a distribuição da v.a.
- Se a população for Normal
- Se a população for arbitrária com variância finita, pelo Teorema do Limite Central temos que, para
Ou seja, de todo jeito a distribuição é (ou se aproxima) da Normal padrão.
Passo 5
O teorema usado para resolver o item (a) é o conjunto de propriedades da esperança e variância de combinações lineares de variáveis independentes, em particular:
-
. -
. - Se
são independentes, .
Passo 6
Em outras palavras, esse “teorema” diz que:
- A esperança de uma soma ponderada de variáveis é a soma ponderada das esperanças.
- A variância de uma variável multiplicada por constante
é vezes a variância original. - E, se as variáveis são independentes, a variância de uma soma é a soma das variâncias.
Resposta
a)
e
.
b) tem distribuição Normal padrão
(exatamente se
forem normais; aproximada por CLT caso geral).
c) Usei o teorema das propriedades de esperança e variância de combinações lineares de variáveis independentes.
d) Ele afirma que ,
, e que variâncias se somam em variáveis independentes.
b)
c) Usei o teorema das propriedades de esperança e variância de combinações lineares de variáveis independentes.
d) Ele afirma que