Seja
uma amostra aleatória de uma variável normalmente distribuída com parâmetros
e
.
Apresente a função de verossimilhança da amostra.
Apresente a função de verossimilhança da amostra.
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é apresentar a função de verossimilhança de uma amostra iid de uma Normal com média μ e variância σ².
Conteúdo: Estatística – estimação por máxima verossimilhança.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Estatística – estimação por máxima verossimilhança.
O que vamos precisar:
- A densidade de probabilidade da
. - O fato de que, por independência, a densidade conjunta é o produto das densidades individuais.
Passo 2
Primeiro, lembrando a densidade de uma Normal:
Aqui:
-
é a constante de normalização. - O exponencial aparece porque a Normal tem cauda em forma de sino.
Passo 3
Como
são independentes, a densidade conjunta é:
Isso é exatamente a definição da verossimilhança: pegar a probabilidade (densidade) conjunta, mas ver como função de
e
.
Passo 4
Agora só reorganizar o produto:
- Produto das constantes
- Soma dos expoentes vira exponencial de soma:
.
Então, juntando tudo: