Seja (X1, X2, ldots, Xn) uma amostra aleatória de uma variável normalmente distribuída com parâmetros mu e sigma^2.
Apresente a função de verossimilhança da amostra.

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é apresentar a função de verossimilhança de uma amostra iid de uma Normal com média μ e variância σ².
Conteúdo: Estatística – estimação por máxima verossimilhança.
O que vamos precisar:
  • A densidade de probabilidade da .
  • O fato de que, por independência, a densidade conjunta é o produto das densidades individuais.

Passo 2

Primeiro, lembrando a densidade de uma Normal:
f(x;mu,sigma^2) =1raiz2pi,sigma^2 exp!l(-(x-mu)^22,sigma^2r)
Aqui:
  • é a constante de normalização.
  • O exponencial aparece porque a Normal tem cauda em forma de sino.

Passo 3

Como L(mu,sigma^2) =prodi=1^n f(Xi;mu,sigma^2) =prodi=1^n 1raiz2pi,sigma^2 exp!l(-(Xi-mu)^22,sigma^2r) são independentes, a densidade conjunta é:
Isso é exatamente a definição da verossimilhança: pegar a probabilidade (densidade) conjunta, mas ver como função de e .

Passo 4

Agora só reorganizar o produto:
  • Produto das constantes
  • Soma dos expoentes vira exponencial de soma:
    .
Então, juntando tudo:

Resposta

boxed L(mu,sigma^2) =(2pi,sigma^2)^-tfracn2 exp!gl( -12sigma^2sumi=1^n (Xi - mu)^2 gr)

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