Seja X uma variável aleatória N(mu, sigma^2) e seja X1, X2, ldots, Xn uma amostra aleatória de X. Mostre que S^2 é um estimador não tendencioso do parâmetro sigma^2.

Passo 1

Beleza, bora lá. O enunciado diz que S^2 = 1n-1sumi=1^n (Xi-overline X)^2 é uma variável aleatória e que temos uma amostra . A tarefa é mostrar que
é um estimador não tendencioso de .
Conteúdo: teoria de estimadores e cálculo de esperança. Vamos precisar da definição de , das propriedades de esperança, variância e covariância, e do fato de .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a esperança de E[S^2] = E[1n-1sumi=1^n (Xi-overline X)^2] = 1n-1 ,E[sumi=1^n (Xi-overline X)^2] :
Então falta calcular .

Passo 3

Notamos que cada E[sumi=1^n (Xi-overline X)^2] = sumi=1^n Var(Xi-overline X) tem esperança zero, então
Agora a gente usa a fórmula
.
Aqui Var(Xi-overline X) = Var(Xi)+Var(overline X)-2,Cov(Xi,overline X) e Var(Xi-overline X) = sigma^2 + sigma^2n - 2sigma^2n = sigma^2(1+1n-21n) = sigma^2(1-1n) , logo
Sabemos que
,
,
e .
Substituindo:
Como isso vale para cada sumi=1^n Var(Xi-overline X) = n,sigma^2(1-1n) = (n-1),sigma^2 e são termos,

Passo 4

Voltando pra esperança de E[S^2] = 1n-1,E[sumi=1^n (Xi-overline X)^2] = 1n-1,(n-1),sigma^2 = sigma^2 :

Resposta

O estimador é não tendencioso, pois .

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