Uma amostra de areia no estado natural pesa 875 gf e o seu volume de 512 cm 3 . O seu peso seco é de 803 gf e a densidade relativa dos grãos 2,66 . Determine o índice de vazios, porosidade, teor de umidade e grau de saturação da areia.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (pego diretamente do enunciado):
  • Massa no estado natural (massa úmida): W_{\text{úm}} = 875\\ \text{gf}ú.
  • Massa seca (massa dos sólidos): W_s = 803\\ \text{gf}.
  • Volume total da amostra: V_t = 512\\ \text{cm}^3.
  • Densidade relativa dos grãos (gravidade específica): G_s = 2,66.
O que o problema pede:
  • Índice de vazios (razão vazios/solidos) e.
  • Porosidade n.
  • Teor de umidade w.
  • Grau de saturação S_r.

Passo 2

Vamos definir e explicar as grandezas e as fórmulas que vamos usar — devagarinho, como se estivéssemos montando o raciocínio na prova.
Definições e fórmulas úteis:
  • Volume dos sólidos: V_s. Para um solo, a massa seca dos sólidos W_s está relacionada com V_s por
V_s=\frac{W_s}{G_s\,\gamma_w},
onde \gamma_w é o peso específico da água (no sistema gf/cm ^3 vale \gamma_w=1\\ \text{gf}/\text{cm}^3). Explicando: G_s é a razão entre a densidade dos grãos e a densidade da água, então massa de sólidos dividida por G_s e por \gamma_w dá o volume de sólidos.
  • Volume de vazios: V_v. É a diferença entre volume total e volume dos sólidos:
V_v=V_t-V_s.
  • Índice de vazios (razão vazios/solidos): e:
e=\frac{V_v}{V_s}.
  • Porosidade n (fração do volume ocupado por vazios):
n=\frac{V_v}{V_t}.
  • Teor de umidade w (em fração massa d’água / massa de sólidos):
w=\frac{W_{\text{úm}}-W_s}{W_s}.ú
  • Volume de água V_w: massa de água dividida por \gamma_w; como \gamma_w=1\\ \text{gf}/\text{cm}^3, fica
V_w=W_{\text{úm}}-W_s.ú
  • Grau de saturação S_r (fração do volume de vazios ocupado por água):
S_r=\frac{V_w}{V_v}.
Comentários rápidos: há uma relação útil que serve como checagem:
S_r=\frac{w\,G_s}{e},
que vem de substituir V_w=S_r V_v e das definições acima.

Passo 3

Calcular o volume dos sólidos V_s usando a fórmula
V_s=\frac{W_s}{G_s\,\gamma_w}.
Substituindo os valores ( \gamma_w=1\\ \text{gf}/\text{cm}^3):
V_s=\frac{803\\ \text{gf}}{2,66\cdot 1\\ \text{gf}/\text{cm}^3} =\frac{803}{2,66}\\ \text{cm}^3.
Fazendo a divisão:
V_s\approx 301,8797\\ \text{cm}^3.

Passo 4

Calcular o volume de vazios V_v:
V_v=V_t-V_s=512\\ \text{cm}^3-301,8797\\ \text{cm}^3.
Portanto
V_v\approx 210,1203\\ \text{cm}^3.

Passo 5

Calcular o índice de vazios e:
e=\frac{V_v}{V_s}=\frac{210,1203}{301,8797}.
Fazendo a divisão:
e\approx 0,6961.
Interpretação curta: e é adimensional; indica quantos cm^3 de vazios existem para cada cm^3 de sólidos.

Passo 6

Calcular a porosidade n:
n=\frac{V_v}{V_t}=\frac{210,1203}{512}.
Fazendo a divisão:
n\approx 0,4105\quad\text{(fração)}.çã
Em porcentagem: n\approx 41,05\%. Explicando: porosidade é a fração do volume total ocupada por vazios.

Passo 7

Calcular o teor de umidade w:
w=\frac{W_{\text{úm}}-W_s}{W_s}=\frac{875\\ \text{gf}-803\\ \text{gf}}{803\\ \text{gf}}=\frac{72}{803}.ú
Fazendo a divisão:
w\approx 0,0896639.
Em porcentagem: w\approx 8,966\%. Explicando: isso diz que a massa de água representa cerca de 8{,}97\% da massa de sólidos.

Passo 8

Calcular o volume de água V_w. Como \gamma_w=1\\ \text{gf}/\text{cm}^3, a massa de água em gramas numericamente é igual ao volume em cm ^3:
V_w=W_{\text{úm}}-W_s=72\\ \text{cm}^3.ú

Passo 9

Calcular o grau de saturação S_r:
S_r=\frac{V_w}{V_v}=\frac{72}{210,1203}.
Fazendo a divisão:
S_r\approx 0,3427.
Em porcentagem: S_r\approx 34,27\%. Interpretação: cerca de um terço do volume de vazios está preenchido por água; o restante é ar.

Passo 10

Checagem por relação alternativa (boa prática na prova): usando
S_r=\frac{w\,G_s}{e},
substituindo w\approx 0,0896639, G_s=2,66 e e\approx 0,6961,
S_r\approx\frac{0,0896639\cdot 2,66}{0,6961}\approx 0,3427,
o que confirma o valor obtido no passo anterior.

Resposta

e\approx 0,6961
n\approx 0,4105 ( 41,05\%)
w\approx 0,08966 ( 8,966\%)
S_r\approx 0,3427 ( 34,27\%)

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