Uma argila saturada tem um teor de umidade de 38 \% e um peso específico \gamma sat =1,85 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}. Determine a densidade das partículas e o índice de vazios.

Passo 1

O enunciado dá uma argila saturada com teor de umidade \,38\%\, e peso específico (densidade) saturado \gamma_{\text{sat}}=1,85\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Pede-se:
  • determinar a densidade das partículas (ou seja, a densidade dos sólidos) \rho_{s};
  • determinar o índice de vazios e.
Dados que vou usar (peguei diretamente do enunciado):
  • \,w=0{,}38 (teor de umidade em fração de massa)
  • \rho_{\text{sat}}=1{,}85\\ \mathrm{g/cm^{3}} (densidade do solo saturado)
Também vou assumir a densidade da água usual:
  • \rho_{w}=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
A amostra está saturada ( S_{r}=1), o que fará aparecer relações simples entre w, e e \rho_{s}. A resolução começa agora.

Passo 2

Vou escrever as definições fundamentais e explicar o que cada símbolo significa, devagarinho para ficar claro.
  • Teor de umidade \,w é a razão entre massa de água e massa de sólidos:
w=\frac{m_{w}}{m_{s}}.
Aqui m_{w} é a massa de água, m_{s} é a massa das partículas sólidas.
  • Índice de vazios e é a razão entre volume de vazios V_{v} e volume de sólidos V_{s}:
e=\frac{V_{v}}{V_{s}}.
Agora relaciono massa e volume usando densidades:
  • massa de água: m_{w}=\rho_{w}V_{v},
  • massa de sólidos: m_{s}=\rho_{s}V_{s}.
Substituindo na definição de w:
w=\frac{\rho_{w}V_{v}}{\rho_{s}V_{s}}.
Reorganizando dá uma relação direta entre e e w:
e=\frac{V_{v}}{V_{s}}=\frac{w\,\rho_{s}}{\rho_{w}}.
Como \rho_{w}=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^{3}}, isso simplifica para
e = w\,\rho_{s}.

Passo 3

Agora relaciono a densidade do solo saturado \rho_{\text{sat}} com \rho_{s}, w e e. A densidade saturada é a massa total por volume total:
\rho_{\text{sat}}=\frac{m_{s}+m_{w}}{V_{\text{total}}}.
Mas m_{s}+m_{w}=m_{s}(1+w) e V_{\text{total}}=V_{s}+V_{v}=V_{s}(1+e). Então
\rho_{\text{sat}}=\frac{m_{s}(1+w)}{V_{s}(1+e)}.
Como m_{s}/V_{s}=\rho_{s}, obtemos a fórmula muito útil
\rho_{\text{sat}}=\rho_{s}\,\frac{1+w}{1+e}.
Esta fórmula é crucial: ela expressa a densidade saturada em função da densidade das partículas, do teor de umidade e do índice de vazios.

Passo 4

Agora uso a relação do Passo 2 ( e=w\,\rho_{s}) dentro da fórmula do Passo 3 e resolvo para \rho_{s}. Substituindo e em \rho_{\text{sat}}=\rho_{s}\dfrac{1+w}{1+e} dá:
\rho_{\text{sat}}=\rho_{s}\,\frac{1+w}{1+w\,\rho_{s}}.
Para achar \rho_{s} isolado, faço a álgebra passo a passo.
Multiplico ambos os lados por (1+w\,\rho_{s}):
\rho_{\text{sat}}\,(1+w\,\rho_{s})=\rho_{s}(1+w).
Distribuo no lado esquerdo:
\rho_{\text{sat}} + \rho_{\text{sat}}\,w\,\rho_{s}=\rho_{s} + \rho_{s}\,w.
Coloco todos os termos que têm \rho_{s} em um lado:
\rho_{\text{sat}} = \rho_{s} + \rho_{s}\,w - \rho_{\text{sat}}\,w\,\rho_{s}.
Factoro \rho_{s} no lado direito:
\rho_{\text{sat}} = \rho_{s}\left(1 + w - \rho_{\text{sat}}\,w\right).
Finalmente, isolando \rho_{s}:
\rho_{s}=\frac{\rho_{\text{sat}}}{\,1 + w - \rho_{\text{sat}}\,w\,}.
Essa é a fórmula que vou usar para calcular numericamente \rho_{s}.

Passo 5

Agora substituo os números ( w=0{,}38, \rho_{\text{sat}}=1{,}85\\ \mathrm{g/cm^{3}}) na fórmula encontrada.
Calculo o termo do denominador passo a passo:
\rho_{\text{sat}}\,w = 1{,}85 \times 0{,}38 = 0{,}703.
1 + w - \rho_{\text{sat}}\,w = 1 + 0{,}38 - 0{,}703 = 1{,}38 - 0{,}703 = 0{,}677.
Agora \rho_{s} é
\rho_{s}=\frac{1{,}85}{0{,}677}\approx 2{,}732\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Arredondando com sentido prático (duas casas decimais) fica \rho_{s}\approx 2{,}73\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Isso faz sentido físico: partículas minerais costumam ter densidade em torno de 2{,}6 2{,}8\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 6

Com \rho_{s} já encontrada, uso a relação simples do Passo 2 para obter e:
e = w\,\rho_{s}.
Substituindo:
e = 0{,}38 \times 2{,}732 \approx 1{,}037.
Arredondando de forma prática: e\approx 1{,}04. Isso significa que o volume de vazios é um pouco maior que o volume de sólidos (índice de vazios maior que 1), típico de argilas soltas a moderadamente compactas.
(Dica rápida para prova: memorizar as duas fórmulas-chave ajuda muito:
e = \frac{w\,\rho_{s}}{\rho_{w}}\quad\text{e}\quad \rho_{\text{sat}}=\rho_{s}\frac{1+w}{1+e}.
Com elas, elimina-se rapidamente incógnitas combinando-as.)

Resposta

\rho_{s}=2{,}73\\ \mathrm{g/cm^{3}}
e=1{,}04

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