Tem-se uma amostra de solo classificada como areia fina argilosa avermelhada, de massa 1757 g e volume de 996,7 \mathrm{~cm}^{3}. Seu peso específico dos sólidos é 2,69 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e o teor de umidade igual a 11,11 \%. Determine o peso específico natural, o peso específico aparente seco, o índice de vazios e o grau de saturação.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • Massa total úmida: m_{\text{úm}} = 1757\\ \mathrm{g}ú.
  • Volume total do ensaio: V = 996{,}7\\ \mathrm{cm}^3.
  • Peso específico dos sólidos (gravidade específica dos grãos): G_s = 2{,}69 (igual a 2{,}69\\ \mathrm{g/cm}^3 para a densidade dos grãos).
  • Teor de umidade: w = 11{,}11\% (vou trabalhar com w na forma decimal quando necessário: w = 0{,}1111 — e lembrar que 11{,}11\% é aproximadamente 1/9).
O que o enunciado pede:
  • Determinar o peso específico natural (unit weight natural) \gamma.
  • Determinar o peso específico aparente seco \gamma_d.
  • Determinar o índice de vazios e.
  • Determinar o grau de saturação S_r.

Passo 2

Conversões e fórmula para o peso específico natural \gamma.
Explicando a ideia: o peso específico (unit weight) \gamma é o peso (força da gravidade sobre a massa úmida) dividido pelo volume total. Em fórmulas:
\gamma=\frac{W}{V}=\frac{m_{\text{úm}}\;g}{V},ú
onde m_{\text{úm}}ú é a massa úmida em kg, g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2) e V é o volume em \mathrm{m}^3. É importante usar unidades consistentes.
Fazendo as conversões:
m_{\text{úm}}=1757\\ \mathrm{g}=1{,}757\\ \mathrm{kg}, \qquad V=996{,}7\\ \mathrm{cm}^3=996{,}7\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3=0{,}0009967\\ \mathrm{m}^3.ú
Agora calculo \gamma:
\gamma=\frac{1{,}757\cdot 9{,}81}{0{,}0009967}\\ \mathrm{N/m}^3.
Faço a conta passo a passo:
W=1{,}757\cdot 9{,}81=17{,}23617\\ \mathrm{N}, \qquad \gamma=\frac{17{,}23617}{0{,}0009967}=17300{,}9\\ \mathrm{N/m}^3.
Convertendo para a unidade usual \mathrm{kN/m}^3:
\gamma\approx 17{,}30\\ \mathrm{kN/m}^3.

Passo 3

Cálculo da massa seca e explicação do teor de umidade.
Definição do teor de umidade: w (em decimal) é a razão entre a massa da água e a massa dos sólidos:
w=\frac{m_{\text{água}}}{m_{\text{sólidos}}}.áó
Também vale m_{\text{úm}}=m_{\text{sólidos}}+m_{\text{água}}=m_{\text{sólidos}}(1+w)úóáó. Daí:
m_{\text{sólidos}}=\frac{m_{\text{úm}}}{1+w}.óú
Usando w=0{,}1111 (ou, como observado, 11{,}11\%\approx 1/9, o que torna 1+w=10/9):
m_{\text{sólidos}}=\frac{1757}{1{,}1111}\\ \mathrm{g}.ó
Como 11{,}11\% é próximo de 1/9, uso a forma exata prática m_{\text{sólidos}}=1757\cdot\frac{9}{10}=1581{,}3\\ \mathrm{g}ó.
Portanto:
m_{\text{sólidos}}=1581{,}3\\ \mathrm{g}=1{,}5813\\ \mathrm{kg}, \qquad m_{\text{água}}=m_{\text{úm}}-m_{\text{sólidos}}=175{,}7\\ \mathrm{g}.óáúó

Passo 4

Cálculo do peso específico aparente seco \gamma_d.
Explicação: \gamma_d é o peso dos sólidos (massa seca vezes g) dividido pelo volume total:
\gamma_d=\frac{W_d}{V}=\frac{m_{\text{sólidos}}\;g}{V}.ó
Usando m_{\text{sólidos}}=1{,}5813\\ \mathrm{kg}ó e V=0{,}0009967\\ \mathrm{m}^3:
W_d=1{,}5813\cdot 9{,}81=15{,}515\\ \mathrm{N}, \qquad \gamma_d=\frac{15{,}515}{0{,}0009967}=15571\\ \mathrm{N/m}^3.
Em \mathrm{kN/m}^3:
\gamma_d\approx 15{,}57\\ \mathrm{kN/m}^3.
Observação útil (fórmula curta): também se pode obter \gamma_d dividindo \gamma por (1+w):
\gamma_d=\frac{\gamma}{1+w},
o que dá o mesmo resultado numérico.

Passo 5

Cálculo do volume dos sólidos V_s a partir de G_s e interpretação de G_s.
Explicando G_s: é a gravidade específica dos sólidos, isto é a razão entre a densidade dos sólidos \rho_s e a densidade da água \rho_w. Em unidades praticas, G_s=2{,}69 significa que a densidade dos grãos é 2{,}69\\ \mathrm{g/cm}^3 (ou 2{,}69\times10^3\\ \mathrm{kg/m}^3).
Para achar o volume dos sólidos em \mathrm{cm}^3 é direto em função da massa seca em gramas:
V_s=\frac{m_{\text{sólidos}}}{\rho_s}=\frac{m_{\text{sólidos}}}{G_s\cdot\rho_w}.óó
Como estou usando \rho_w=1\\ \mathrm{g/cm}^3 e m_{\text{sólidos}}ó em gramas:
V_s=\frac{1581{,}3}{2{,}69}\\ \mathrm{cm}^3.
Faço a conta:
V_s\approx 587{,}843\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Cálculo do volume de vazios V_v e do índice de vazios e.
Definições:
  • Volume total V é a soma de volume de sólidos V_s e volume de vazios V_v: V=V_s+V_v.
  • Índice de vazios e é a razão entre volume de vazios e volume de sólidos:
e=\frac{V_v}{V_s}=\frac{V-V_s}{V_s}.
Usando V=996{,}7\\ \mathrm{cm}^3 e V_s=587{,}843\\ \mathrm{cm}^3:
V_v=996{,}7-587{,}843=408{,}857\\ \mathrm{cm}^3,
e=\frac{408{,}857}{587{,}843}\approx 0{,}696.

Passo 7

Cálculo do grau de saturação S_r.
Definição e dedução curta: o grau de saturação S_r é a razão entre volume de água e volume de vazios:
S_r=\frac{V_w}{V_v}.
Podemos obter V_w diretamente da massa de água dividida pela densidade da água (em \mathrm{cm}^3 se usarmos gramas):
m_{\text{água}}=175{,}7\\ \mathrm{g}\quad\Rightarrow\quad V_w=175{,}7\\ \mathrm{cm}^3\\ (\text{pois }\rho_w\approx 1\\ \mathrm{g/cm}^3).á
Logo:
S_r=\frac{175{,}7}{408{,}857}\approx 0{,}4299\approx 0{,}430.
Convertendo para porcentagem:
S_r\approx 42{,}99\%\approx 43{,}0\%.

Passo 8

Resumo dos resultados numéricos (arredondamentos razoáveis e unidades usuais):
  • Peso específico natural: \gamma\approx 17{,}30\\ \mathrm{kN/m}^3.
  • Peso específico aparente seco: \gamma_d\approx 15{,}57\\ \mathrm{kN/m}^3.
  • Índice de vazios: e\approx 0{,}696 (adimensional).
  • Grau de saturação: S_r\approx 0{,}430 (ou 43{,}0\%).

Resposta

\gamma\approx 17{,}30\\ \mathrm{kN/m}^3
\gamma_d\approx 15{,}57\\ \mathrm{kN/m}^3
e\approx 0{,}696
S_r\approx 43{,}0\%

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