Um centímetro cubico de solo úmido pesa 1,8 \mathrm{gf}. Seu peso seco é de 1,5 \mathrm{gf}. O peso específico das partículas sólidas é de 27,2 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Determine o teor de umidade, o índice de vazios e o grau de saturação.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (já peguei todos os números do enunciado):
  • Volume total do ensaio: V = 1\\ \mathrm{cm}^3.
  • Peso úmido do volume: W_{\text{úmido}} = 1{,}8\\ \mathrm{gf}ú.
  • Peso seco (peso das partículas sólidas): W_s = 1{,}5\\ \mathrm{gf}.
  • Peso específico das partículas sólidas (peso por volume das partículas): \gamma_s = 27{,}2\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
O enunciado pede:
  1. O teor de umidade w (em % ou decimal).
  2. O índice de vazios e.
  3. O grau de saturação S_r.
Vou trabalhar passo a passo, explicando as fórmulas e unidades para você entender e poder repetir na prova.

Passo 2

Calcular o teor de umidade w.
Definição e fórmula: o teor de umidade w é a razão entre a massa (ou peso) de água e a massa (ou peso) das partículas sólidas:
w=\frac{W_w}{W_s},
onde W_w é o peso da água (úmida menos seca) e W_s é o peso seco (partículas sólidas). Aqui usamos pesos em unidades iguais, então a razão é válida.
Calcule W_w:
W_w = W_{\text{úmido}}-W_s = 1{,}8\\ \mathrm{gf}-1{,}5\\ \mathrm{gf}=0{,}3\\ \mathrm{gf}.ú
Agora w:
w=\frac{0{,}3}{1{,}5}=0{,}2.
Em porcentagem:
w=0{,}2\cdot100\%=20\%.
Explicação prática: isso significa que a massa (ou peso) da água corresponde a 20\% da massa das partículas sólidas — fácil de lembrar na prova: sempre divida “água” por “sólidos”.

Passo 3

Encontrar o volume das partículas sólidas V_s.
Conceito: o peso específico (ou peso volumétrico) das partículas sólidas \gamma_s é o peso por unidade de volume das partículas sólidas:
\gamma_s=\frac{W_s}{V_s}\quad\Rightarrow\quad V_s=\frac{W_s}{\gamma_s}.
Para dividir precisamos que W_s e \gamma_s estejam em unidades compatíveis (por exemplo N e N/cm ^3 ou gf e gf/cm ^3). Vou converter de forma simples para trabalhar em \mathrm{cm}^3:
  • Primeiro, converto \gamma_s de \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 para \mathrm{N}/\mathrm{cm}^3:
27{,}2\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 = 27{,}200\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3 = \frac{27{,}200}{10^6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{cm}^3 = 0{,}0272\\ \mathrm{N}/\mathrm{cm}^3.
  • Converto o peso seco W_s de \mathrm{gf} para \mathrm{N}. Como 1\\ \mathrm{gf}=9{,}80665\times10^{-3}\\ \mathrm{N},
W_s = 1{,}5\\ \mathrm{gf} = 1{,}5\times9{,}80665\times10^{-3}\\ \mathrm{N}=0{,}014709975\\ \mathrm{N}.
Agora calculo V_s:
V_s=\frac{W_s}{\gamma_s}=\frac{0{,}014709975\\ \mathrm{N}}{0{,}0272\\ \mathrm{N}/\mathrm{cm}^3}=0{,}54081\\ \mathrm{cm}^3\\ (\text{aprox.}).
Comentário didático: outra maneira muito prática (e que dá o mesmo resultado) é observar que, numericamente, W_s=1{,}5\\ \mathrm{gf} corresponde a uma massa de 1{,}5\\ \mathrm{g}. Como a densidade aparente das partículas (em termos de peso) foi dada, o procedimento acima é a forma consistente com unidades. O resultado mostra que as partículas ocupam cerca de 0{,}541\\ \mathrm{cm}^3 do volume total 1\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 4

Calcular o volume de vazios V_v e o índice de vazios e.
O volume total é V=1\\ \mathrm{cm}^3. O volume de vazios é a diferença entre o total e o volume de sólidos:
V_v = V - V_s = 1{,}0\\ \mathrm{cm}^3 - 0{,}54081\\ \mathrm{cm}^3 = 0{,}45919\\ \mathrm{cm}^3\\ (\text{aprox.}).
Definição do índice de vazios:
e=\frac{V_v}{V_s}.
Calcule:
e=\frac{0{,}45919}{0{,}54081}=0{,}849\\ (\text{aprox.}).
Explicação: o índice de vazios e é adimensional e indica quantos centímetros cúbicos de vazio existem por centímetro cúbico de sólidos. Aqui e\approx0{,}849 significa que há aproximadamente 0{,}849\\ \mathrm{cm}^3 de vazios para cada 1\\ \mathrm{cm}^3 de sólidos.

Passo 5

Calcular o grau de saturação S_r.
Definição: o grau de saturação é a razão entre o volume de água e o volume de vazios:
S_r=\frac{V_w}{V_v}.
Calculamos V_w já na Passo 2: o peso da água foi 0{,}3\\ \mathrm{gf}, o que corresponde a uma massa de 0{,}3\\ \mathrm{g}. Como a água tem densidade aproximadamente 1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3, o volume de água é
V_w = 0{,}3\\ \mathrm{cm}^3.
(usar massa/1 g·cm^{-3} é a forma mais direta numa situação com volumes em cm^3 e pesos em gf).
Agora calculo S_r:
S_r=\frac{V_w}{V_v}=\frac{0{,}3}{0{,}45919}=0{,}6537\\ (\text{aprox.})\quad\Rightarrow\quad S_r\approx65{,}37\%.
Interpretação prática: o solo está aproximadamente 65{,}4\% saturado — ou seja, pouco mais da metade do volume dos vazios está ocupado por água.

Resposta

Teor de umidade: w=20\%
Índice de vazios: e=0{,}849
Grau de saturação: S_r=65{,}37\%

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