Uma amostra consiste em 6 valores que se situam entre 1 e 9 inclusive. Qual o maior valor possível do desvio-padrâo?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma amostra com
valores e cada valor está no intervalo
. A pergunta é: “Qual o maior valor possível do desvio-padrão?”\n
Informações relevantes dadas: \n
Informações relevantes dadas: \n
- Há exatamente
observações. \n - Cada observação
satisfaz . \n - Queremos o maior possível do desvio-padrão (valor máximo que essa quantidade pode assumir, ao variar os
números dentro de ).\n
O que o enunciado pede: encontrar o máximo possível do desvio-padrão da amostra (ou seja, do conjunto denúmeros) respeitando os limites e .
Passo 2
Definição e ideia-chave (aula curta): o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Vou usar a definição de variância como a média dos quadrados das distâncias ao valor médio (variância populacional), porque maximizar a variância ou a soma dos quadrados das distâncias é equivalente — o denominador é constante. Escrevendo isso: \n
onde
é a média
. O desvio-padrão é
.\n
Motivação prática: para aumentar o desvio-padrão queremos que os valores fiquem o mais espalhados possível em torno da média. Intuitivamente, para variáveis restritas a um intervalo, colocar os valores nos extremos do intervalo tende a aumentar a variância.
Motivação prática: para aumentar o desvio-padrão queremos que os valores fiquem o mais espalhados possível em torno da média. Intuitivamente, para variáveis restritas a um intervalo, colocar os valores nos extremos do intervalo tende a aumentar a variância.
Passo 3
Argumento de que valores extremos são melhores (intuição justificada): suponha que algum valor
esteja estritamente dentro do intervalo
. Podemos mover
para
ou para
(mantendo os outros valores fixos) e isso tende a aumentar a soma dos quadrados das distâncias à média (pois a função
é convexa e os extremos maximizam a dispersão). Assim, o máximo da variância ocorre quando cada observação é igual a uma das extremidades
ou
. Portanto é suficiente olhar para configurações com
valores iguais a
e
valores iguais a
, com
.
Passo 4
Expressar média e soma dos quadrados para a configuração com
valores iguais a
e
iguais a
.\n
A média é
A média é
A soma dos quadrados dos observações é
Passo 5
Calcular a variância em função de
usando a identidade
.\n
Primeiro a média do quadrado:
Primeiro a média do quadrado:
Já
é
Subtraindo,
Fatorando:
Passo 6
Maximizar
sobre
.\n
A expressão é uma quadrática concava em
(coeficiente de
negativo), cujo vértice real ocorre em
. Como
deve ser inteiro entre
e
, o máximo ocorre em
. \n
Calculemos em
:
A expressão
Calculemos
Passo 7
Encontrar o desvio-padrão máximo: \n
Interpretação prática: a configuração que atinge isso é ter exatamente três valores iguais a
e três iguais a
. Nesse caso a média é
e cada observação está a distância
da média, dando desvio-padrão
.