Uma amostra consiste em 6 valores que se situam entre 1 e 9 inclusive. Qual o maior valor possível do desvio-padrâo?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra com 6 valores e cada valor está no intervalo [1,9]. A pergunta é: “Qual o maior valor possível do desvio-padrão?”\n
Informações relevantes dadas: \n
  • Há exatamente 6 observações. \n
  • Cada observação x_i satisfaz 1 \le x_i \le 9. \n
  • Queremos o maior possível do desvio-padrão (valor máximo que essa quantidade pode assumir, ao variar os 6 números dentro de [1,9]).\n
    O que o enunciado pede: encontrar o máximo possível do desvio-padrão da amostra (ou seja, do conjunto de 6 números) respeitando os limites 1 e 9.

Passo 2

Definição e ideia-chave (aula curta): o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Vou usar a definição de variância como a média dos quadrados das distâncias ao valor médio (variância populacional), porque maximizar a variância ou a soma dos quadrados das distâncias é equivalente — o denominador é constante. Escrevendo isso: \n
\text{Var} = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(x_i-\mu)^2
onde \mu é a média \mu=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6} x_i. O desvio-padrão é \sigma=\sqrt{\text{Var}}.\n
Motivação prática: para aumentar o desvio-padrão queremos que os valores fiquem o mais espalhados possível em torno da média. Intuitivamente, para variáveis restritas a um intervalo, colocar os valores nos extremos do intervalo tende a aumentar a variância.

Passo 3

Argumento de que valores extremos são melhores (intuição justificada): suponha que algum valor x esteja estritamente dentro do intervalo (1,9). Podemos mover x para 1 ou para 9 (mantendo os outros valores fixos) e isso tende a aumentar a soma dos quadrados das distâncias à média (pois a função t\mapsto (t-\mu)^2 é convexa e os extremos maximizam a dispersão). Assim, o máximo da variância ocorre quando cada observação é igual a uma das extremidades 1 ou 9. Portanto é suficiente olhar para configurações com k valores iguais a 1 e 6-k valores iguais a 9, com k\in\{0,1,2,3,4,5,6\}.

Passo 4

Expressar média e soma dos quadrados para a configuração com k valores iguais a 1 e 6-k iguais a 9.\n
A média é
\mu=\frac{k\cdot 1+(6-k)\cdot 9}{6}=\frac{54-8k}{6}=9-\frac{4}{3}k.
A soma dos quadrados dos observações é
\sum_{i=1}^{6} x_i^2 = k\cdot 1^2+(6-k)\cdot 9^2 = k + (6-k)\cdot 81 = 486-80k.

Passo 5

Calcular a variância em função de k usando a identidade \text{Var}=\frac{1}{6}\sum x_i^2 - \mu^2.\n
Primeiro a média do quadrado:
\frac{1}{6}\sum x_i^2 = \frac{486-80k}{6}=81-\frac{40}{3}k.
\mu^2 é
\mu^2=\left(9-\frac{4}{3}k\right)^2 = 81-24k+\frac{16}{9}k^2.
Subtraindo,
\text{Var}(k)=\left(81-\frac{40}{3}k\right)-\left(81-24k+\frac{16}{9}k^2\right) =\frac{32}{3}k-\frac{16}{9}k^2.
Fatorando:
\text{Var}(k)=\frac{16}{9}\bigl(6k-k^2\bigr).

Passo 6

Maximizar \text{Var}(k) sobre k\in\{0,1,2,3,4,5,6\}.\n
A expressão \text{Var}(k)=\frac{16}{9}(6k-k^2) é uma quadrática concava em k (coeficiente de k^2 negativo), cujo vértice real ocorre em k=\frac{6}{2}=3. Como k deve ser inteiro entre 0 e 6, o máximo ocorre em k=3. \n
Calculemos \text{Var} em k=3:
\text{Var}(3)=\frac{16}{9}\bigl(6\cdot 3-3^2\bigr)=\frac{16}{9}\cdot 9 =16.

Passo 7

Encontrar o desvio-padrão máximo: \n
\sigma_{\max}=\sqrt{\text{Var}_{\max}}=\sqrt{16}=4.
Interpretação prática: a configuração que atinge isso é ter exatamente três valores iguais a 1 e três iguais a 9. Nesse caso a média é \mu=5 e cada observação está a distância 4 da média, dando desvio-padrão 4.

Resposta

4

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