a. Utiliza-se o coeficiente de variação, expresso como porcentagem. O coeficiente permite-nos comparar a variabilidade de conjuntos de dados com diferentes unidades (como anos e minutos), e se calcula como se segue:
\frac{s}{\bar{x}} \cdot 100 \text { ou } \frac{\sigma}{\mu} \cdot 100
Determine o coeficiente de variação para as seguintes idades de carros (em anos):
\begin{array}{lllllllllll}0 & 1 & 3 & 3 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & 8 & 12\end{array}
b. Genichi Taguchi desenvolveu um processo de melhoria de qualidade e redução de custo de fabricação mediante uma combinação de engenharia e estatística. Um elemento fundamental no processo de Taguchi é a razão sinal-para-ruído. A maneira mais simples de calcular essa razão consiste em dividir a média pelo desvio-padrão. Determine a razão sinal-para-ruído para os dados amostrais da parte (a).

Passo 1

O enunciado dá as idades (em anos) dos carros:
\begin{array}{lllllllllll}0 & 1 & 3 & 3 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & 8 & 12\end{array}.
As perguntas são:
(a) Determinar o coeficiente de variação expresso em porcentagem usando \dfrac{s}{\bar{x}}\cdot100 (usaremos o desvio-padrão amostral s).
(b) Determinar a razão sinal-para-ruído (SNR) simples de Taguchi dada por \dfrac{\bar{x}}{s} para os mesmos dados.

Passo 2

Vamos calcular a média amostral \bar{x}. A média é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Formalmente:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.
Aqui o número de observações é n=11. Primeiro somamos os valores (eu somei os números da lista):
\sum_{i=1}^{11} x_i = 0+1+3+3+5+6+6+6+6+8+12 = 56.
Portanto
\bar{x}=\frac{56}{11}\approx 5{,}090909.
Interpretação rápida: em média os carros têm cerca de 5{,}09 anos.

Passo 3

Agora precisamos do desvio-padrão amostral s. Vou explicar a fórmula e o porquê. O desvio-padrão amostral mede a dispersão dos dados ao redor da média, e usa n-1 no denominador para corrigir o viés da amostra. A fórmula é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Uma forma prática de calcular s é usar a soma dos quadrados dos valores:
s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}.
Vou calcular \sum x_i^2. Quadrando cada idade e somando (calculei a partir da lista):
\sum_{i=1}^{11} x_i^2 = 0^2+1^2+3^2+3^2+5^2+6^2+6^2+6^2+6^2+8^2+12^2 = 396.

Passo 4

Agora substituímos na fórmula da variância amostral:
s^2=\frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}.
Usando \sum x_i^2=396, n=11 e \bar{x}=\dfrac{56}{11} temos
n\bar{x}^2 = 11\left(\frac{56}{11}\right)^2 = \frac{11\cdot 3136}{121}=\frac{3136}{11}.
Então
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 396 - \frac{3136}{11} = \frac{396\cdot 11 - 3136}{11} = \frac{4356-3136}{11}=\frac{1220}{11}.
Dividindo por n-1=10,
s^2=\frac{1220/11}{10}=\frac{122}{11}\approx 11{,}090909.

Passo 5

Tirando a raiz para obter s:
s=\sqrt{\frac{122}{11}}=\sqrt{11{,}090909\ldots}\approx 3{,}330302.
Interpretação: o desvio-padrão amostral é cerca de 3{,}33 anos — é uma medida da dispersão das idades em torno da média.

Passo 6

Agora calculamos o coeficiente de variação (CV) como porcentagem usando \dfrac{s}{\bar{x}}\cdot100. Substituindo:
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\cdot100 =\frac{\sqrt{122/11}}{56/11}\cdot100 =\frac{\sqrt{1342}}{56}\cdot100.
Numericamente, usando os valores encontrados,
\text{CV}=\frac{3{,}330302}{5{,}090909}\cdot100\approx 65{,}4166\%\approx 65{,}42\%.
Interpretação: a variabilidade relativa das idades é alta — o desvio é cerca de 65{,}4\% da média.

Passo 7

Para a razão sinal-para-ruído simples de Taguchi usamos
\text{SNR}=\frac{\bar{x}}{s}.
Substituindo os valores calculados:
\text{SNR}=\frac{5{,}090909}{3{,}330302}\approx 1{,}528298.
Interpretação: essa razão indica quantas vezes a “sinal” (a média) domina o “ruído” (a variabilidade). Aqui a média é cerca de 1{,}528 vezes o desvio-padrão.

Resposta

(a) \text{CV}\approx 65{,}42\%
(b) \text{SNR}\approx 1{,}5283

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