Uma amostra de dez casais e seus respectivos salários anuais (em s.m.) foi colhida num certo bairro conforme vemos na tabela abaixo.
Salário Casal no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Homem (X) 10 10 10 15 15 15 15 20 20 20
Mulher (Y) 5 10 10 5 10 10 15 10 10 15
Sabe-se que:
sumi=1^10 Xi=150, sumi=1^10 Xi=1^2=2400, sumi=1^10 Yi=100, sumi=1^10 Yi^2=1100 e sumi=1^10 Xi Yi=1550.
Qual o salário médio familiar? E a variância do salário familiar?

Passo 1

Beleza, a ideia é a gente ter 10 casais com salários do homem e da mulher . A gente quer os dois primos:
  1. a média do salário familiar
  2. a variância desse
O que vamos usar:
  • Soma dos , e dos quadrados ,
  • Soma dos produtos
  • Fórmulas de média e variância de soma de variáveis

Passo 2

Primeiro a média do salário familiar:
Definindo muZ ;=; 1nsumi=1^n Zi ;=;110sumi=1^10(Xi+Yi) ;=;sum Xi+sum Yi10 , a média é
muZ = 150 + 10010 = 25010 = 25
Substituindo e ,

Passo 3

Agora a variância de Var(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 . A gente usa a definição de variância populacional:
E(Z^2) =110sumi=1^10(Xi+Yi)^2 =110l(sum Xi^2 + sum Yi^2 + 2sum XiYir)
Então precisamos de
sum Xi^2 = 2400, sum Yi^2 = 1100, sum XiYi = 1550,
Substituindo os valores que temos:
E(Z^2) =2400 + 1100 + 2cdot155010 =2400 + 1100 + 310010 =660010 =660
Var(Z) = 660 - (25)^2 = 660 - 625 = 35
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Resposta

Média do salário familiar: .
Variância do salário familiar: .

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