Uma amostra de um elemento químico desconhecido perde sua massa naturalmente ao longo do tempo.
A relação entre o tempo decorrido, t, em meses, desde a primeira medição da amostra, e sua massa M(t), em gramas, é modelada pela função a seguir:
M(t)=120 \cdot\left(\frac{81}{625}\right)^{t}
Complete a afirmação a seguir sobre a taxa de variação da massa da amostra.
Arredonde sua resposta para duas casas decimais.
A massa da amostra diminui por um fator de \frac{3}{5} a cada \square mês/meses.

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Passo 1

O enunciado apresenta um modelo de decaimento exponencial da massa
M(t)=120\cdot\Bigl(\tfrac{81}{625}\Bigr)^{t}
e pede para encontrar o intervalo de tempo \Delta t em que a massa diminui por um fator de \tfrac{3}{5}.

Passo 2

Para que a massa diminua por um fator de \tfrac{3}{5} em um intervalo \Delta t, devemos ter
\frac{M(t+\Delta t)}{M(t)} =\Bigl(\tfrac{81}{625}\Bigr)^{\Delta t} =\frac{3}{5}.

Passo 3

Observamos que
\frac{81}{625}=\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{4},
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\Bigl(\tfrac{81}{625}\Bigr)^{\Delta t} =\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{4\Delta t}
e precisamos que
\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{4\Delta t} =\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{1},
o que implica
4\Delta t = 1 \quad\Longrightarrow\quad \Delta t = \frac{1}{4} = 0{,}25.

Resposta

A massa da amostra diminui por um fator de \tfrac{3}{5} a cada 0{,}25 mês.

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