Obtenha \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{s{2}+3 s}\right}.

Passo 1

O enunciado nos pede a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s^{2}+3s}\bigr\}.
Repare que
\frac{1}{s^{2}+3s} = \frac{1}{s(s+3)},
então vamos usar a técnica de frações parciais para escrever essa função como soma de termos cujas inversas conhecemos.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{s(s+3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+3), obtemos
1 = A(s+3) + B\,s.

Passo 3

Para encontrar A e B, escolhemos valores convenientes de s:
  • Se s=0, fica 1 = A\cdot3 + B\cdot0, logo A = \tfrac{1}{3}.
  • Se s=-3, fica 1 = A\cdot0 + B\cdot(-3), logo B = -\tfrac{1}{3}.
Assim
\frac{1}{s(s+3)} = \frac{1/3}{s} \;-\;\frac{1/3}{s+3}.

Passo 4

Usamos que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\} = 1
e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+3}\} = e^{-3t}.
Invertendo termo a termo:
f(t) = \frac{1}{3}\cdot 1 \;-\;\frac{1}{3}\,e^{-3t} = \frac{1}{3}\,\bigl(1 - e^{-3t}\bigr).

Resposta

f(t) = \frac{1}{3}\,\bigl(1 - e^{-3t}\bigr).

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