Obtenha uma solução para a equação diferencial
da forma
, explicitando o intervalo de validade da mesma.
Passo 1
O enunciado pede uma solução em série de potências em torno de
para a equação diferencial
O conteúdo é série de potências e recorrência de coeficientes. Vamos assumir
de modo a determinar os
.
Passo 2
Calculemos a derivada em série:
Passo 3
Substituindo em
, temos
e
Somando e igualando coeficientes de
a zero:
Para
:
Para
:
Passo 4
A recorrência
junto com
dá
Logo a série é
Passo 5
Reconhecemos a soma de uma progressão geométrica, daí
cuja expansão em série converge para
.
Resposta
com
constante arbitrária.