Obtenha uma solução para a equação diferencial (1-x) y^{\prime}-y=0 da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, explicitando o intervalo de validade da mesma.

Passo 1

O enunciado pede uma solução em série de potências em torno de x=0 para a equação diferencial
(1 - x)\,y' - y = 0.
O conteúdo é série de potências e recorrência de coeficientes. Vamos assumir
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n},
de modo a determinar os a_{n}.

Passo 2

Calculemos a derivada em série:
y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\,a_{n} x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,a_{n+1}\,x^{n}.

Passo 3

Substituindo em (1-x)\,y' - y = 0, temos
(1-x)y' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1}x^n \;-\;\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1}x^{n+1},
e
-y = -\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Somando e igualando coeficientes de x^n a zero:
Para n=0:
a_1 - a_0 = 0 \quad\implies\quad a_1 = a_0.
Para n\ge1:
(n+1)a_{n+1} \;-\;n\,a_{n}\;-\;a_{n} = 0 \;\Longrightarrow\; (n+1)a_{n+1} = (n+1)\,a_n \;\Longrightarrow\; a_{n+1}=a_n.

Passo 4

A recorrência a_{n+1}=a_n junto com a_1=a_0
a_n = a_0 \quad\forall n\ge0.
Logo a série é
y(x) = a_0\sum_{n=0}^\infty x^n.

Passo 5

Reconhecemos a soma de uma progressão geométrica, daí
y(x) = a_0\,\frac{1}{1-x},
cuja expansão em série converge para \lvert x\rvert<1.

Resposta

y(x) = C\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{C}{1-x}, \qquad |x|<1,
com C=a_{0} constante arbitrária.

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