Determine \mathcal{L}\left{\operatorname{sen}^{2} t\right}. (lembre que \operatorname{sen}^{2} t=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos 2 t ).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \operatorname{sen}^2 t. O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar a identidade trigonométrica dada:
\operatorname{sen}^2 t = \tfrac12 - \tfrac12\cos(2t)
e as fórmulas conhecidas
\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}, \qquad \mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2 + a^2}.

Passo 2

Pela identidade, escrevemos
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}^2 t\} = \mathcal{L}\Big\{\tfrac12\Big\} \;-\;\mathcal{L}\Big\{\tfrac12\cos(2t)\Big\}
e aplicamos linearidade:
\mathcal{L}\{\tfrac12\} = \tfrac12\,\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{s} = \frac{1}{2s},
\mathcal{L}\{\tfrac12\cos(2t)\} = \tfrac12\,\mathcal{L}\{\cos(2t)\} = \tfrac12\;\frac{s}{s^2+4} = \frac{s}{2\,(s^2+4)}.

Passo 3

Substituindo esses resultados:
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}^2 t\} = \frac{1}{2s} \;-\;\frac{s}{2\,(s^2+4)}.

Passo 4

Para simplificar, coloque sobre o mesmo denominador 2s(s^2+4):
\frac{1}{2s} = \frac{s^2+4}{2s(s^2+4)}, \qquad \frac{s}{2\,(s^2+4)} = \frac{s^2}{2s(s^2+4)}.
Então
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}^2 t\} = \frac{s^2+4}{2s(s^2+4)} - \frac{s^2}{2s(s^2+4)} = \frac{4}{2s(s^2+4)} = \frac{2}{s\,(s^2+4)}.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{sen}^2 t\} = \frac{2}{s\,(s^2+4)}, \quad \Re(s)>0.

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