Uma amostra de fábricas de uma indústria apresentou os seguintes dados referentes ao custo total (Y) e à produção (X), conforme a tabela a seguir.
Custo total (Y) Produção (X)
80 12
44 4
51 6
70 11
61 8
Com base nesses dados, pede-se:
a) Construir o diagrama de dispersão dos dados e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação de regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra com cinco observações do custo total Y e da produção X. Os pares (X,Y) são (peguei esses números da tabela do enunciado):
(12,80),\quad (4,44),\quad (6,51),\quad (11,70),\quad (8,61).
O que se pede:
a) Construir o diagrama de dispersão dos dados e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação da regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as médias amostrais de X e Y. A média é a soma dos valores dividida pelo número de observações n.
n=5.
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i=\frac{12+4+6+11+8}{5}=\frac{41}{5}=8,2.
\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_i=\frac{80+44+51+70+61}{5}=\frac{306}{5}=61,2.
Explicação curta: \bar{X} e \bar{Y} são os valores centrais dos dados em X e Y. Vamos usá‑los para medir desvios (o quanto cada observação se afasta da média).

Passo 3

Agora calculamos os somatórios necessários para correlação e regressão. Definições (que vou usar):
S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2,\qquad S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar{Y})^2,\qquad S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}).
Esses quantificam, respectivamente, a variabilidade de X, a variabilidade de Y e a covariabilidade entre X e Y.
Vou calcular, observação a observação, os desvios, seus quadrados e o produto:
Para (X_1,Y_1)=(12,80):
X_1-\bar{X}=12-8,2=3,8,\qquad Y_1-\bar{Y}=80-61,2=18,8,
(X_1-\bar{X})^2=3,8^2=14,44,\qquad (Y_1-\bar{Y})^2=18,8^2=353,44,
(X_1-\bar{X})(Y_1-\bar{Y})=3,8\cdot18,8=71,44.
Para (X_2,Y_2)=(4,44):
X_2-\bar{X}=4-8,2=-4,2,\qquad Y_2-\bar{Y}=44-61,2=-17,2,
(X_2-\bar{X})^2=(-4,2)^2=17,64,\qquad (Y_2-\bar{Y})^2=17,2^2=295,84,
(X_2-\bar{X})(Y_2-\bar{Y})=(-4,2)\cdot(-17,2)=72,24.
Para (X_3,Y_3)=(6,51):
X_3-\bar{X}=6-8,2=-2,2,\qquad Y_3-\bar{Y}=51-61,2=-10,2,
(X_3-\bar{X})^2=4,84,\qquad (Y_3-\bar{Y})^2=104,04,
(X_3-\bar{X})(Y_3-\bar{Y})=22,44.
Para (X_4,Y_4)=(11,70):
X_4-\bar{X}=11-8,2=2,8,\qquad Y_4-\bar{Y}=70-61,2=8,8,
(X_4-\bar{X})^2=7,84,\qquad (Y_4-\bar{Y})^2=77,44,
(X_4-\bar{X})(Y_4-\bar{Y})=24,64.
Para (X_5,Y_5)=(8,61):
X_5-\bar{X}=8-8,2=-0,2,\qquad Y_5-\bar{Y}=61-61,2=-0,2,
(X_5-\bar{X})^2=0,04,\qquad (Y_5-\bar{Y})^2=0,04,
(X_5-\bar{X})(Y_5-\bar{Y})=0,04.
Somando tudo:
S_{xx}=14,44+17,64+4,84+7,84+0,04=44,8.
S_{yy}=353,44+295,84+104,04+77,44+0,04=830,8.
S_{xy}=71,44+72,24+22,44+24,64+0,04=190,8.
Observação didática: S_{xx} é a soma dos quadrados dos desvios de X; S_{xy} mede se, quando X está acima da média, Y também tende a estar acima da média (produto positivo) ou abaixo (produto negativo).

Passo 4

Cálculo do coeficiente de correlação linear de Pearson r. Fórmula e significado:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Aqui r varia entre -1 e 1. Valores próximos de 1 indicam forte correlação positiva, próximos de -1 forte negativa, e próximo de 0 pouca correlação linear.
Substituindo os somatórios que calculamos:
r=\frac{190,8}{\sqrt{44,8\cdot 830,8}}.
Calculemos a raiz:
44,8\cdot 830,8=37219,84,
\sqrt{37219,84}\approx 192,94.
Portanto
r\approx\frac{190,8}{192,94}\approx 0,989.
Interpretação curta (didática e motivadora): r\approx 0,989 indica uma correlação linear muito forte e positiva entre produção X e custo total Y: quando X aumenta, Y tende a aumentar de maneira quase linear.

Passo 5

Construção do diagrama de dispersão (como fazer na prova, sem calculadora gráfica):
  • Em papel milimetrado, marque no eixo horizontal a produção X e no eixo vertical o custo Y.
  • Plote os pontos (peguei estes pontos da tabela): (12,80),\\ (4,44),\\ (6,51),\\ (11,70),\\ (8,61).
  • Verá que os pontos ficam próximos de uma reta ascendente (isso está de acordo com r alto e positivo).
Dica prática: coloque marcas de 0 a 13 no eixo X (pois os X variam de 4 a 12) e de 40 a 85 no eixo Y (pois os Y variam de 44 a 80), e plote cada par.

Passo 6

Agora estimamos a equação da regressão linear simples de Y em função de X. Fórmulas dos mínimos quadrados (explicando cada símbolo):
  • \hat{\beta}_1 é a inclinação (coeficiente angular), mede quanto em média Y muda quando X aumenta 1 unidade.
  • \hat{\beta}_0 é o intercepto (coeficiente linear), é o valor estimado de Y quando X=0.
    As fórmulas amostrais são:
\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X}.
Substituindo:
\hat{\beta}_1=\frac{190,8}{44,8}\approx 4,2589.
\hat{\beta}_0=61,2-4,2589\cdot 8,2.
Calcule o produto:
4,2589\cdot 8,2\approx 34,9232.
Logo
\hat{\beta}_0\approx 61,2-34,9232=26,2768.
Portanto a equação estimada da regressão é, arredondando coeficientes para 3 casas decimais,
\hat{Y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 X\approx 26,277+4,259\,X.
Explicação prática: isso significa que, segundo os dados, cada unidade adicional de produção X aumenta o custo estimado Y em cerca de 4,259 unidades monetárias, e se a produção fosse 0 (interpretar com cautela), o custo estimado seria cerca de 26,277.

Passo 7

Verificação rápida (checagem que ajuda em prova): podemos calcular os valores ajustados para conferir que os resíduos são pequenos. Por exemplo, para X=12,
\hat{Y}=26,2768+4,2589\cdot 12\approx 26,2768+51,107=77,3838,
que está perto do Y=80 observado. Isso dá confiança no ajuste.

Resposta

a) Diagrama de dispersão: pontos (12,80),\\ (4,44),\\ (6,51),\\ (11,70),\\ (8,61). Coeficiente de correlação de Pearson r\approx 0,989.
b) Equação da regressão linear estimada:
\hat{Y}\approx 26,277+4,259\,X.

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