Uma amostra de fábricas de uma indústria apresentou os seguintes dados referentes ao custo total
e à produção
, conforme a tabela a seguir.
Custo total
Produção
80
12
44
4
51
6
70
11
61
8
Com base nesses dados, pede-se:
a) Construir o diagrama de dispersão dos dados e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação de regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
| Custo total
|
Produção
|
| 80 | 12 |
| 44 | 4 |
| 51 | 6 |
| 70 | 11 |
| 61 | 8 |
a) Construir o diagrama de dispersão dos dados e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação de regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra com cinco observações do custo total
e da produção
. Os pares
são (peguei esses números da tabela do enunciado):
O que se pede:
a) Construir o diagrama de dispersão dos dados e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação da regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
a) Construir o diagrama de dispersão dos dados e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação da regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
Passo 2
Primeiro vamos calcular as médias amostrais de
e
. A média é a soma dos valores dividida pelo número de observações
.
Explicação curta:
e
são os valores centrais dos dados em
e
. Vamos usá‑los para medir desvios (o quanto cada observação se afasta da média).
Passo 3
Agora calculamos os somatórios necessários para correlação e regressão. Definições (que vou usar):
Esses quantificam, respectivamente, a variabilidade de
, a variabilidade de
e a covariabilidade entre
e
.
Vou calcular, observação a observação, os desvios, seus quadrados e o produto:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Somando tudo:
Observação didática:
é a soma dos quadrados dos desvios de
;
mede se, quando
está acima da média,
também tende a estar acima da média (produto positivo) ou abaixo (produto negativo).
Passo 4
Cálculo do coeficiente de correlação linear de Pearson
. Fórmula e significado:
Aqui
varia entre
e
. Valores próximos de
indicam forte correlação positiva, próximos de
forte negativa, e próximo de
pouca correlação linear.
Substituindo os somatórios que calculamos:
Calculemos a raiz:
Portanto
Interpretação curta (didática e motivadora):
indica uma correlação linear muito forte e positiva entre produção
e custo total
: quando
aumenta,
tende a aumentar de maneira quase linear.
Passo 5
Construção do diagrama de dispersão (como fazer na prova, sem calculadora gráfica):
- Em papel milimetrado, marque no eixo horizontal a produção
e no eixo vertical o custo . - Plote os pontos (peguei estes pontos da tabela):
. - Verá que os pontos ficam próximos de uma reta ascendente (isso está de acordo com
alto e positivo).
Dica prática: coloque marcas de 0 a 13 no eixo
(pois os
variam de 4 a 12) e de 40 a 85 no eixo
(pois os
variam de 44 a 80), e plote cada par.
Passo 6
Agora estimamos a equação da regressão linear simples de
em função de
. Fórmulas dos mínimos quadrados (explicando cada símbolo):
-
é a inclinação (coeficiente angular), mede quanto em média muda quando aumenta 1 unidade. -
é o intercepto (coeficiente linear), é o valor estimado de quando .
As fórmulas amostrais são:
Substituindo:
Calcule o produto:
Logo
Portanto a equação estimada da regressão é, arredondando coeficientes para 3 casas decimais,
Explicação prática: isso significa que, segundo os dados, cada unidade adicional de produção
aumenta o custo estimado
em cerca de
unidades monetárias, e se a produção fosse
(interpretar com cautela), o custo estimado seria cerca de
.
Passo 7
Verificação rápida (checagem que ajuda em prova): podemos calcular os valores ajustados para conferir que os resíduos são pequenos. Por exemplo, para
,
que está perto do
observado. Isso dá confiança no ajuste.
Resposta
a) Diagrama de dispersão: pontos
. Coeficiente de correlação de Pearson
.
b) Equação da regressão linear estimada: