Q 6 Há duas cartas: uma é vermelha dos dois lados e a outra é vermelha de um lado e azul do outro. Cada carta tem probabilidade \frac{1}{2} de ser escolhida. Uma carta é escolhida ao acaso e colocada sobre a mesa. Sabendo que o lado voltado para cima é vermelho, qual é a probabilidade de que o lado de baixo também seja vermelho?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Existem duas cartas:
    • Carta 1: vermelha dos dois lados (vou chamá-la de C_{RR}).
    • Carta 2: vermelha de um lado e azul do outro (vou chamá-la de C_{RB}).
  • Cada carta é escolhida com probabilidade \tfrac{1}{2}.
  • Uma carta é escolhida ao acaso e colocada sobre a mesa (assume‑se que as duas faces têm a mesma chance de ficar para cima).
  • Observa‑se que o lado voltado para cima é vermelho. Pergunta: qual é a probabilidade de que o lado de baixo também seja vermelho?

Passo 2

Definindo eventos para ficar claro:
  • C_{RR}: evento “a carta escolhida é a carta com dois lados vermelhos”.
  • C_{RB}: evento “a carta escolhida é a carta com um lado vermelho e um lado azul”.
  • R_{up}: evento “o lado voltado para cima é vermelho”.
    O que se quer é P(C_{RR}\mid R_{up}), pois o lado de baixo ser vermelho ocorre exatamente quando a carta escolhida é C_{RR} (se a carta for C_{RB} e o lado de cima for vermelho, o de baixo é azul).

Passo 3

Vou usar a fórmula de probabilidade condicional (fórmula de Bayes). A fórmula geral é:
P(C_{RR}\mid R_{up})=\frac{P(R_{up}\mid C_{RR})\,P(C_{RR})}{P(R_{up})}.
Explico cada termo:
  • P(C_{RR}) é a probabilidade a priori de escolher a carta C_{RR} (dada no enunciado): \tfrac{1}{2}.
  • P(R_{up}\mid C_{RR}) é a probabilidade de ver vermelho em cima dado que a carta escolhida é C_{RR}. Como ambos os lados são vermelhos, isso vale 1.
  • P(R_{up}) é a probabilidade total de observar vermelho para cima (precisamos calcular usando a regra da probabilidade total).

Passo 4

Calcular P(R_{up}) pela regra da probabilidade total:
P(R_{up})=P(R_{up}\mid C_{RR})\,P(C_{RR})+P(R_{up}\mid C_{RB})\,P(C_{RB}).
Sabendo que P(R_{up}\mid C_{RR})=1, P(C_{RR})=\tfrac{1}{2}, P(R_{up}\mid C_{RB})=\tfrac{1}{2} (porque a carta C_{RB} tem apenas um lado vermelho) e P(C_{RB})=\tfrac{1}{2}, temos:
P(R_{up})=1\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

Passo 5

Agora aplico a fórmula de Bayes:
P(C_{RR}\mid R_{up})=\frac{1\cdot\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{3}{4}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto, a probabilidade procurada é \tfrac{2}{3}.

Passo 6

Intuição alternativa (contagem de faces, método mais direto e frequentemente mais fácil de entender):
  • Pense nas 4 faces possíveis das duas cartas: duas faces vermelhas da carta C_{RR}, uma face vermelha da carta C_{RB} e uma face azul da C_{RB}.
  • Ao ver uma face vermelha para cima, estamos em um dos 3 casos “face vermelha”: duas vêm da C_{RR} e uma da C_{RB}.
  • Então a chance de estar numa face que pertence à C_{RR} é 2 em 3, ou seja \tfrac{2}{3}. Isso coincide com o cálculo anterior.

Resposta

\tfrac{2}{3}

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