Q 6 Há duas cartas: uma é vermelha dos dois lados e a outra é vermelha de um lado e azul do outro. Cada carta tem probabilidade
de ser escolhida. Uma carta é escolhida ao acaso e colocada sobre a mesa. Sabendo que o lado voltado para cima é vermelho, qual é a probabilidade de que o lado de baixo também seja vermelho?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Existem duas cartas:
- Carta 1: vermelha dos dois lados (vou chamá-la de
). - Carta 2: vermelha de um lado e azul do outro (vou chamá-la de
).
- Carta 1: vermelha dos dois lados (vou chamá-la de
- Cada carta é escolhida com probabilidade
. - Uma carta é escolhida ao acaso e colocada sobre a mesa (assume‑se que as duas faces têm a mesma chance de ficar para cima).
- Observa‑se que o lado voltado para cima é vermelho. Pergunta: qual é a probabilidade de que o lado de baixo também seja vermelho?
Passo 2
Definindo eventos para ficar claro:
-
: evento “a carta escolhida é a carta com dois lados vermelhos”. -
: evento “a carta escolhida é a carta com um lado vermelho e um lado azul”. -
: evento “o lado voltado para cima é vermelho”.
O que se quer é, pois o lado de baixo ser vermelho ocorre exatamente quando a carta escolhida é (se a carta for e o lado de cima for vermelho, o de baixo é azul).
Passo 3
Vou usar a fórmula de probabilidade condicional (fórmula de Bayes). A fórmula geral é:
Explico cada termo:
-
é a probabilidade a priori de escolher a carta (dada no enunciado): . -
é a probabilidade de ver vermelho em cima dado que a carta escolhida é . Como ambos os lados são vermelhos, isso vale . -
é a probabilidade total de observar vermelho para cima (precisamos calcular usando a regra da probabilidade total).
Passo 4
Calcular
pela regra da probabilidade total:
Sabendo que
,
,
(porque a carta
tem apenas um lado vermelho) e
, temos:
Passo 5
Agora aplico a fórmula de Bayes:
Portanto, a probabilidade procurada é
.
Passo 6
Intuição alternativa (contagem de faces, método mais direto e frequentemente mais fácil de entender):
- Pense nas 4 faces possíveis das duas cartas: duas faces vermelhas da carta
, uma face vermelha da carta e uma face azul da . - Ao ver uma face vermelha para cima, estamos em um dos 3 casos “face vermelha”: duas vêm da
e uma da . - Então a chance de estar numa face que pertence à
é em , ou seja . Isso coincide com o cálculo anterior.