Considere um experimento em que se analisa a octanagem da gasolina (
) em função da adição de um novo aditivo (
). Para isso, foram realizados ensaios com percentuais de
e
de aditivo. Os resultados observados são apresentados na tabela a seguir.
1
2
3
4
5
6
80,5
81,6
82,1
83,7
83,9
85,0
Com base nesses dados, pede-se:
a) Construir o diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação de regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
c) Interprete o coeficiente da regressão e a constante da regressão.
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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80,5 | 81,6 | 82,1 | 83,7 | 83,9 | 85,0 |
a) Construir o diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação de regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
c) Interprete o coeficiente da regressão e a constante da regressão.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
-
Perguntas:
- (a) Construir o diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
- (b) Estimar a equação de regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
- (c) Interpretar o coeficiente da regressão (inclinação) e a constante (intercepto).
-
Dados fornecidos (pares
, peguei estes números do enunciado): -
-
Informação útil: número de observações
.
A partir daqui vamos calcular passo a passo as quantidades necessárias (médias, somas de quadrados e produtos) para obter o coeficiente de Pearson e os coeficientes da reta de regressão.
Passo 2
Como construir o diagrama de dispersão (explicação prática).
- Um diagrama de dispersão é simplesmente um gráfico com o eixo horizontal sendo a variável explicativa
(percentual de aditivo) e o eixo vertical sendo a variável resposta (octanagem). - Para cada par
plota-se um ponto no plano. Aqui os pontos são exatamente os listados no Passo 1. - Em uma prova sem computador, desenha e marca os pontos: para
marque ; para marque ; e assim por diante até com . - Depois de plotar os pontos, a direção geral dos pontos (subindo para a direita) já indica correlação positiva. A reta de regressão pode ser desenhada passando pela estimativa de intercepto e inclinada pelo coeficiente angular que vamos calcular a seguir.
Passo 3
Fórmulas e cálculo das médias (ensinar o que é e como usar).
-
Definição da média amostral de
: Definição da média amostral de: -
Cálculo com os dados:
- Significado rápido:
é o percentual médio de aditivo na amostra (3,5%), é a octanagem média (82,8).
Passo 4
Definição e cálculo de
,
e
(essas somas são a base de Pearson e da regressão).
-
Definições:
-
Calculemos as diferenças e os produtos (mostrando cada termo):
- Para
: as diferenças são . - Para
: as diferenças são .
Agora os quadrados e produtos: - Para
- Interpretação:
mede a variabilidade de em torno da média; a variabilidade de ; quantifica a covariação entre e .
Passo 5
Cálculo do coeficiente de correlação linear de Pearson (fórmula, cálculo e interpretação).
-
Fórmula do coeficiente de Pearson
: -
Substituindo os valores calculados:Calcule o denominador:Logo
-
Interpretação didática e intuitiva:
-
varia entre e . Aqui é muito próximo de , o que indica uma associação linear positiva muito forte entre percentual de aditivo e octanagem . - Em palavras: quando
aumenta, tende a aumentar, e os pontos estão muito próximos de uma linha reta.
-
Passo 6
Estimativa da reta de regressão linear simples (fórmulas, cálculo e interpretação dos coeficientes).
-
Modelo de regressão simples (popular em provas):onde
é o intercepto (constante), a inclinação (coeficiente angular) e o erro aleatório. -
Estimadores pelo método dos mínimos quadrados:
-
Cálculo da inclinação:
-
Cálculo do intercepto:
-
Portanto a reta ajustada (equação de regressão estimada) é
-
Exemplo rápido de uso (para fixar a ideia): para
, O valor observado parafoi ; a diferença é o resíduo.
Passo 7
Interpretação didática do coeficiente da regressão e da constante (linguagem simples, aplicável na prova).
-
Interpretação da inclinação
: - Significado: é o aumento esperado na octanagem
quando o percentual de aditivo aumenta em uma unidade (ou seja, em ponto percentual), mantendo-se o modelo linear. - Em palavras simples: adicionar mais
do aditivo aumenta, em média, a octanagem em aproximadamente unidades. - Observação prática: trata-se de uma estimativa média baseada nos dados; na prática pode haver variação em torno desse valor.
- Significado: é o aumento esperado na octanagem
-
Interpretação do intercepto
: - Significado: é o valor estimado da octanagem quando
(ou seja, sem aditivo), segundo o modelo linear. - Em palavras: o modelo prediz que, com
do aditivo, a octanagem seria aproximadamente . - Aviso (importante para prova): este valor é uma extrapolação se os dados não incluem
. Aqui observou apenas de a , portanto usar a reta para é extrapolar um pouco; isso pode ser aceitável, mas deve-se mencionar o risco de extrapolação.
- Significado: é o valor estimado da octanagem quando
Passo 8
Comentário final sobre ajuste e qualidade: coeficiente de determinação breve.
- O coeficiente de determinação é
, isto é, cerca de da variabilidade na octanagem é explicada pela variação linear no percentual de aditivo segundo este modelo. Isso confirma que o ajuste linear é muito bom para esses dados.
Resposta
(a) Diagrama de dispersão: pontos
. Coeficiente de Pearson
.
(b) Equação da regressão estimada: .
(c) Interpretação: a inclinação significa que um acréscimo de
no aditivo eleva a octanagem média em cerca de
unidades; o intercepto
é a octanagem estimada para
de aditivo (valor extrapolado, pois os dados têm
entre
e
).
(b) Equação da regressão estimada:
(c) Interpretação: a inclinação