Considere um experimento em que se analisa a octanagem da gasolina ( Y ) em função da adição de um novo aditivo ( X ). Para isso, foram realizados ensaios com percentuais de 1 \%, 2 \%, 3 \%, 4 \%, 5 \% e 6 \% de aditivo. Os resultados observados são apresentados na tabela a seguir.
X 1 2 3 4 5 6
Y 80,5 81,6 82,1 83,7 83,9 85,0
Com base nesses dados, pede-se:
a) Construir o diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação de regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
c) Interprete o coeficiente da regressão e a constante da regressão.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Perguntas:
    • (a) Construir o diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
    • (b) Estimar a equação de regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
    • (c) Interpretar o coeficiente da regressão (inclinação) e a constante (intercepto).
  • Dados fornecidos (pares (X,Y), peguei estes números do enunciado):
    • (1,\,80{,}5)
    • (2,\,81{,}6)
    • (3,\,82{,}1)
    • (4,\,83{,}7)
    • (5,\,83{,}9)
    • (6,\,85{,}0)
  • Informação útil: número de observações n=6.
A partir daqui vamos calcular passo a passo as quantidades necessárias (médias, somas de quadrados e produtos) para obter o coeficiente de Pearson e os coeficientes da reta de regressão.

Passo 2

Como construir o diagrama de dispersão (explicação prática).
  • Um diagrama de dispersão é simplesmente um gráfico com o eixo horizontal sendo a variável explicativa X (percentual de aditivo) e o eixo vertical sendo a variável resposta Y (octanagem).
  • Para cada par (X_i,Y_i) plota-se um ponto no plano. Aqui os pontos são exatamente os listados no Passo 1.
  • Em uma prova sem computador, desenha e marca os pontos: para X=1 marque Y=80{,}5; para X=2 marque Y=81{,}6; e assim por diante até X=6 com Y=85{,}0.
  • Depois de plotar os pontos, a direção geral dos pontos (subindo para a direita) já indica correlação positiva. A reta de regressão pode ser desenhada passando pela estimativa de intercepto e inclinada pelo coeficiente angular que vamos calcular a seguir.

Passo 3

Fórmulas e cálculo das médias (ensinar o que é e como usar).
  • Definição da média amostral de X:
    \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
    Definição da média amostral de Y:
    \bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_i.
  • Cálculo com os dados:
    \bar{X}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3{,}5.
\bar{Y}=\frac{80{,}5+81{,}6+82{,}1+83{,}7+83{,}9+85{,}0}{6}=\frac{496{,}8}{6}=82{,}8.
  • Significado rápido: \bar{X} é o percentual médio de aditivo na amostra (3,5%), \bar{Y} é a octanagem média (82,8).

Passo 4

Definição e cálculo de S_{xx}, S_{yy} e S_{xy} (essas somas são a base de Pearson e da regressão).
  • Definições:
    S_{xx}=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2, \qquad S_{yy}=\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar{Y})^2, \qquad S_{xy}=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}).
  • Calculemos as diferenças e os produtos (mostrando cada termo):
    • Para X: as diferenças (X_i-\bar{X}) são -2{,}5,\\\ -1{,}5,\\\ -0{,}5,\\\ 0{,}5,\\\ 1{,}5,\\\ 2{,}5.
    • Para Y: as diferenças (Y_i-\bar{Y}) são -2{,}3,\\\ -1{,}2,\\\ -0{,}7,\\\ 0{,}9,\\\ 1{,}1,\\\ 2{,}2.
    Agora os quadrados e produtos:
    S_{xx}=6{,}25+2{,}25+0{,}25+0{,}25+2{,}25+6{,}25=17{,}5.
S_{yy}=5{,}29+1{,}44+0{,}49+0{,}81+1{,}21+4{,}84=14{,}08.
S_{xy}=5{,}75+1{,}8+0{,}35+0{,}45+1{,}65+5{,}5=15{,}5.
  • Interpretação: S_{xx} mede a variabilidade de X em torno da média; S_{yy} a variabilidade de Y; S_{xy} quantifica a covariação entre X e Y.

Passo 5

Cálculo do coeficiente de correlação linear de Pearson (fórmula, cálculo e interpretação).
  • Fórmula do coeficiente de Pearson r:
    r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
  • Substituindo os valores calculados:
    r=\frac{15{,}5}{\sqrt{17{,}5\cdot 14{,}08}}.
    Calcule o denominador:
    17{,}5\cdot 14{,}08=246{,}4,\qquad \sqrt{246{,}4}\approx 15{,}697.
    Logo
    r\approx\frac{15{,}5}{15{,}697}\approx 0{,}988.
  • Interpretação didática e intuitiva:
    • r varia entre -1 e 1. Aqui r\approx 0{,}988 é muito próximo de 1, o que indica uma associação linear positiva muito forte entre percentual de aditivo X e octanagem Y.
    • Em palavras: quando X aumenta, Y tende a aumentar, e os pontos estão muito próximos de uma linha reta.

Passo 6

Estimativa da reta de regressão linear simples (fórmulas, cálculo e interpretação dos coeficientes).
  • Modelo de regressão simples (popular em provas):
    Y_i=\beta_0+\beta_1 X_i+\varepsilon_i,
    onde \beta_0 é o intercepto (constante), \beta_1 a inclinação (coeficiente angular) e \varepsilon_i o erro aleatório.
  • Estimadores pelo método dos mínimos quadrados:
    \hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X}.
  • Cálculo da inclinação:
    \hat{\beta}_1=\frac{15{,}5}{17{,}5}=\frac{31}{35}\approx 0{,}885714.
  • Cálculo do intercepto:
    \hat{\beta}_0=82{,}8-0{,}885714\cdot 3{,}5=82{,}8-3{,}1=79{,}7.
  • Portanto a reta ajustada (equação de regressão estimada) é
    \widehat{Y}=79{,}7+0{,}885714\,X.
  • Exemplo rápido de uso (para fixar a ideia): para X=4\%,
    \widehat{Y}=79{,}7+0{,}885714\cdot 4\approx 83{,}2429.
    O valor observado para X=4 foi Y=83{,}7; a diferença é o resíduo.

Passo 7

Interpretação didática do coeficiente da regressão e da constante (linguagem simples, aplicável na prova).
  • Interpretação da inclinação \hat{\beta}_1=0{,}885714:
    • Significado: é o aumento esperado na octanagem Y quando o percentual de aditivo X aumenta em uma unidade (ou seja, em 1 ponto percentual), mantendo-se o modelo linear.
    • Em palavras simples: adicionar mais 1\% do aditivo aumenta, em média, a octanagem em aproximadamente 0{,}886 unidades.
    • Observação prática: trata-se de uma estimativa média baseada nos dados; na prática pode haver variação em torno desse valor.
  • Interpretação do intercepto \hat{\beta}_0=79{,}7:
    • Significado: é o valor estimado da octanagem quando X=0\% (ou seja, sem aditivo), segundo o modelo linear.
    • Em palavras: o modelo prediz que, com 0\% do aditivo, a octanagem seria aproximadamente 79{,}7.
    • Aviso (importante para prova): este valor é uma extrapolação se os dados não incluem X=0. Aqui X observou apenas de 1\% a 6\%, portanto usar a reta para X=0 é extrapolar um pouco; isso pode ser aceitável, mas deve-se mencionar o risco de extrapolação.

Passo 8

Comentário final sobre ajuste e qualidade: coeficiente de determinação breve.
  • O coeficiente de determinação é \,R^2=r^2\approx(0{,}988)^2\approx 0{,}976, isto é, cerca de 97{,}6\% da variabilidade na octanagem é explicada pela variação linear no percentual de aditivo segundo este modelo. Isso confirma que o ajuste linear é muito bom para esses dados.

Resposta

(a) Diagrama de dispersão: pontos (1,\,80{,}5),\\ (2,\,81{,}6),\\ (3,\,82{,}1),\\ (4,\,83{,}7),\\ (5,\,83{,}9),\\ (6,\,85{,}0). Coeficiente de Pearson r\approx 0{,}988.
(b) Equação da regressão estimada: \widehat{Y}=79{,}7+0{,}885714\,X.
(c) Interpretação: a inclinação \hat{\beta}_1\approx 0{,}8857 significa que um acréscimo de 1\% no aditivo eleva a octanagem média em cerca de 0{,}886 unidades; o intercepto \hat{\beta}_0=79{,}7 é a octanagem estimada para 0\% de aditivo (valor extrapolado, pois os dados têm X entre 1\% e 6\%).

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