Determine a separação entre as fendas em um experimento de fenda dupla que produz franjas de interferência brilhantes apresentando uma separação angular de 1,00^{\circ}. Suponha um comprimento de onda de 592 nm.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a separação entre as duas fendas (ou seja, o espaçamento d) em um experimento de fenda dupla que produz franjas brilhantes com separação angular conhecida.\n
Dados fornecidos:
\Delta\theta = 1{,}00^\circ
\lambda = 592\\ \text{nm}
Pergunta explícita: qual é o valor de d (em metros ou micrômetros)?

Passo 2

Entendendo a física de forma simples e direta (aula rapidinha): nas franjas de interferência de uma fenda dupla, os máximos brilhantes obedecem à condição
d\sin\theta_m = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as fendas (o que queremos),
  • \theta_m é o ângulo do máximo de ordem m medido em relação à normal,
  • m é um inteiro ( 0,\pm1,\pm2,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz.\n
    A separação angular entre máximos sucessivos (entre m e m+1) satisfaz
d\bigl(\sin\theta_{m+1}-\sin\theta_m\bigr)=\lambda.
Para ângulos pequenos (caso típico em fenda dupla de laboratório), podemos usar a aproximação de pequeno ângulo \sin\theta\approx\theta (com \theta em radianos). Então a diferença de ângulo entre máximos sucessivos fica aproximadamente
\Delta\theta \approx \frac{\lambda}{d}.
Isto é muito útil porque nos permite resolver diretamente para d:
d \approx \frac{\lambda}{\Delta\theta}\quad(\text{\(\Delta\theta\) em rad}).

Passo 3

Conversão de unidades e verificação da aproximação: primeiro convertendo \Delta\theta de graus para radianos. Lembrando que
1^\circ = \frac{\pi}{180}\\ \text{rad},
temos
\Delta\theta = 1{,}00^\circ = \frac{\pi}{180}\\ \text{rad} \approx 0{,}0174533\\ \text{rad}.
Também escrevemos o comprimento de onda em metros:
\lambda = 592\\ \text{nm} = 592\times 10^{-9}\\ \text{m}.
Breve comentário sobre validade: para 1^\circ a aproximação \sin\theta\approx\theta é muito boa, pois \sin(1^\circ)\approx 0{,}0174524 e \theta_\text{rad}=0{,}0174533, diferença desprezível (ordem 10^{-5} relativa). Então podemos usar a fórmula aproximada com segurança.

Passo 4

Aplicando a fórmula e substituindo números:
d \approx \frac{\lambda}{\Delta\theta} = \frac{592\times 10^{-9}\\ \text{m}}{0{,}017453292519943295\\ \text{rad}}.
Agora calculamos:
d \approx 3{,}391910147\times 10^{-5}\\ \text{m}.

Passo 5

Colocando o resultado em unidades práticas: transformar metros em micrômetros ( 1\\ \mu\text{m}=10^{-6}\\ \text{m}):
d \approx 33{,}9\\ \mu\text{m}.
Observação sobre algarismos significativos: os dados eram \Delta\theta=1{,}00^\circ (três algarismos) e \lambda=592\\ \text{nm} (três algarismos), então apresentar d com três algarismos significativos como 33{,}9\\ \mu\text{m} ou 3{,}39\times 10^{-5}\\ \text{m} é apropriado.

Resposta

d \approx 3{,}39\times 10^{-5}\\ \text{m}
d \approx 33{,}9\\ \mu\text{m}

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