Uma amostra de gás ideal monoatômico é capaz de sofrer um processo termodinâmico denominado Processo Inventado Pelo Prof. Tiago em que durante uma expansão volumétrica a pressão decai de acordo com a seguinte relação:
p=1+raizVV^2
em que a pressão p é medida em Pascals e o volume V em metros cúbicos. Durante o Processo Inventado Pelo Prof. Tiago o gás expande-se de um volume inicial de 1L para um volume final de 30L. (a) Qual é a pressão inicial do gás? (b) Qual é o trabalho realizado pelo gás quando sofre o Processo Inventado Pelo Prof. Tiago? (b) Qual seria o trabalho realizado por um gás que a partir do mesmo volume e pressão inicial se expandisse isotermicamente para o volume final de 30L.

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é um gás ideal monoatômico que passa por um processo “inventado pelo prof. Tiago”, em que a pressão varia com o volume assim:
p(V)=1+raizVV^2,,
com p em Pa e V em m³. O gás vai de Vi=1 L=1times10^-3,m^3 até Vf=30 L=3times10^-2,m^3.
Precisamos:
- (a) achar a pressão inicial pi=p(Vi);
- (b) calcular o trabalho W=integralVi^Vfp,dV nesse processo;
- © comparar com o trabalho de uma expansão isotérmica do mesmo ponto inicial até Vf.
Pra isso vamos usar integração para o processo inventado e a fórmula Wrm iso=nRTlnVfVi, lembrando que para gás ideal nRT=piVi.

Passo 2

(a) Pressão inicial: basta pôr Vi=1times10^-3,m^3 na fórmula
pi=1+raizViVi^2=1+raiz10^-3(10^-3)^2=1+0.031622810^-6approx1.0316228times10^6 Pa
Ou seja, piapprox1,03times10^6,Pa.

Passo 3

(b) Trabalho no processo do prof. Tiago:
$$W=\int_{V_i}^{V_f}p(V),dV
=\int_{V_i}{V_f}\Bigl(V{-2}+V^{-3/2}\Bigr)dV.$$
Divide em duas integrais:
1) W=integralVi^Vfp(V),dV =integralVi^Vfl(V^-2+V^-3/2r)dV
2) integral V^-2dV=-V^-1.
Logo
$$W=\Bigl[-V{-1}-2V{-1/2}\Bigr]_{V_i}^{V_f}
=\Bigl(-\tfrac1{V_f}-\tfrac{2}{\sqrt{V_f}}\Bigr);-;\Bigl(-\tfrac1{V_i}-\tfrac{2}{\sqrt{V_i}}\Bigr). integral V^-3/2dV=-2,V^-1/2áW\approx1018{,}4\ J.$$

Passo 4

© Trabalho na expansão isotérmica:
Como nRT=piVi, temos
$$W_{\rm iso}=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}=p_iV_i\ln\frac{30\times10{-3}}{1\times10{-3}}
=p_iV_i\ln(30). Wrm iso=nRTlnVfVi=piViln30times10^-31times10^-3 =piViln(30)W_{\rm iso}\approx1031{,}6\times3{,}4012\approx3508{,}5\ J.$$

Resposta

(a) piapprox1,03times10^6,Pa
(b) Wrm Tiagoapprox1,02times10^3,J
© Wrm isoapprox3,51times10^3,J

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