Uma amostra de 5 g de um gás monoatômico de massa molar hipotética
inicialmente a uma pressão de 3 atm e uma temperatura de 293 K , é submetida a uma expansão isobárica até que seu volume seja triplicado. Sabendo que a relação entre pressão, volume e temperatura nesse gás obedece a equação
, e que a relação entre energia interna e temperatura obedece a equação
, onde n é o número de moles do gás, e R é uma constante
. Encontre:
(a) O volume e temperatura do gás ao final da expansão.
(b) A quantidade de energia térmica que é transferida para o gás ao final da expansão.
A seguir, a pressão do gás é reduzida, a volume constante, até que a temperatura original seja novamente atingida.
(c) Qual a pressão do gás após este processo?
(d) Que quantidade de energia térmica é transferida do gás durante este processo?
(e) Represente o processo inteiro em um diagrama PV. Escolha escalas adequadas para os dois eixos.
(a) O volume e temperatura do gás ao final da expansão.
(b) A quantidade de energia térmica que é transferida para o gás ao final da expansão.
(c) Qual a pressão do gás após este processo?
(d) Que quantidade de energia térmica é transferida do gás durante este processo?
(e) Represente o processo inteiro em um diagrama PV. Escolha escalas adequadas para os dois eixos.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de gás monoatômico com as seguintes informações iniciais e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido:
Dados:
- massa do gás:
. - massa molar:
. - pressão inicial:
. - temperatura inicial:
. - processo 1: expansão isobárica até que o volume seja triplicado (ou seja,
). - relação do gás:
, com . - relação da energia interna:
(portanto porque ). - conversão necessária:
.
O que é pedido:
(a) Volume e temperatura finais após a expansão isobárica ( e
).
(b) Quantidade de energia térmica transferida para o gás ao final da expansão (isto é, o calor recebido no processo isobárico).
Depois, o gás sofre uma redução de pressão a volume constante até que a temperatura volte a . Com isso, pede-se:
(c) A pressão final após esse processo (chamo de ).
(d) A quantidade de energia térmica transferida do gás durante o resfriamento isocórico (isto é, o calor nesse segundo processo).
(e) Representar o processo inteiro num diagrama –
e escolher escalas adequadas.
(a) Volume e temperatura finais após a expansão isobárica (
(b) Quantidade de energia térmica transferida para o gás ao final da expansão (isto é, o calor
Depois, o gás sofre uma redução de pressão a volume constante até que a temperatura volte a
(c) A pressão final após esse processo (chamo de
(d) A quantidade de energia térmica transferida do gás durante o resfriamento isocórico (isto é, o calor
(e) Representar o processo inteiro num diagrama
Passo 2
Calcular o número de mols
do gás e converter a pressão inicial para unidades SI (Pascal), porque vamos usar
em
(unidades SI).
Cálculo de
:
Conversão da pressão inicial:
Explicação rápida (didática): usamos mols porque a equação
relaciona pressão, volume e temperatura com o número de mols. E usamos Pascal para pressão porque
está em
(onde
).
Passo 3
Calcular o volume inicial
usando
.
Aplicando a equação:
Substituindo números:
Vou calcular passo a passo:
Agora
Interpretação prática:
, que em litros é
(1 L =
).
Passo 4
Estado após a expansão isobárica até triplicar o volume.
Como a pressão é constante (
) e
, pela equação dos gases ideais a temperatura escala na mesma proporção do volume (porque
).
Logo:
Pequeno comentário didático: em processo isobárico,
fixo, então
. Triplicando
, triplicamos
.
Passo 5
Calcular a energia térmica adicionada ao longo da expansão isobárica (calor
).
Método e fórmulas de base (explicação didática):
- Energia interna de um gás monoatômico:
. Assim, a variação de energia interna é
onde
.
- Trabalho realizado pelo gás em processo isobárico:
. - Primeira lei da termodinâmica (balanceamento):
. - Para ideal monoatômico, isso resulta em
com . Ambas as abordagens são equivalentes; usarei a forma que é direta.
Calcule
:
Calcule
(que também é
):
Calcule
:
Calcule
:
Ou usando
:
Interpretação: o gás recebeu cerca de
durante a expansão isobárica.
Passo 6
Processo subsequente: redução da pressão a volume constante até que
volte a
.
Explicação didática: em processo isocórico (
constante), a relação entre pressão e temperatura é
(pelo ideal gas law,
e
constantes). Assim
Aqui
(voltou à temperatura original) e
.
Logo:
Comentário: simplificou-se porque
, então
. Em unidades SI,
.
Passo 7
Calcular a energia térmica transferida do gás durante o resfriamento isocórico (calor
).
Explicação didática: em processo isocórico, o trabalho é nulo (
), logo pela primeira lei
. Para gás monoatômico:
com
.
Assim:
Portanto o calor trocado é
: isto significa que
foram transferidos do gás para o meio (ou seja, energia térmica removida do gás).
Passo 8
Preparar a representação do processo no diagrama
–
e escolher escalas.
Coordenadas numéricas dos três estados para desenhar (valores calculados):
- Estado 1 (inicial):
(ou ). - Estado 2 (após isobárica):
(ou ). - Estado 3 (após isocórico):
(ou ).
Como desenhar (instruções práticas):
-
Use eixo horizontal para o volume
e eixo vertical para a pressão . -
Sugestão de escalas (usando unidades práticas):
- Eixo
: de a (marcas a cada ); isso cobre e . - Eixo
: de a (marcas a cada ); isso mostra e .
- Eixo
-
Plotar ponto A:
. -
Desenhar uma linha horizontal (isobárica) de A até B:
. -
Desenhar uma linha vertical (isocórica) de B para C:
. -
Identifique setas no sentido do processo: A
B (expansão isobárica), B C (resfriamento isocórico). -
Observação: a área sob a curva no trecho A→B (linha horizontal) corresponde ao trabalho realizado
. No trecho B→C, a área é zero (W=0).
Resposta
(a)
,
(b) (energia térmica transferida para o gás na expansão).
(c)
(d) (ou seja,
foram transferidos do gás para o meio).
(e) Diagrama –
: traçar A
→ linha horizontal até B
→ linha vertical descendente até C
. Escalas sugeridas:
de
a
,
de
a
.
(b)
(c)
(d)
(e) Diagrama