Uma amostra de 5 g de um gás monoatômico de massa molar hipotética \mathrm{M}=14 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} inicialmente a uma pressão de 3 atm e uma temperatura de 293 K , é submetida a uma expansão isobárica até que seu volume seja triplicado. Sabendo que a relação entre pressão, volume e temperatura nesse gás obedece a equação \mathrm{pV}=\mathrm{nRT}, e que a relação entre energia interna e temperatura obedece a equação \mathrm{E}=(3 / 2) \mathrm{PV}, onde n é o número de moles do gás, e R é uma constante (\mathrm{R}=8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K}). Encontre:
(a) O volume e temperatura do gás ao final da expansão.
(b) A quantidade de energia térmica que é transferida para o gás ao final da expansão.
A seguir, a pressão do gás é reduzida, a volume constante, até que a temperatura original seja novamente atingida.
(c) Qual a pressão do gás após este processo?
(d) Que quantidade de energia térmica é transferida do gás durante este processo?
(e) Represente o processo inteiro em um diagrama PV. Escolha escalas adequadas para os dois eixos.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de gás monoatômico com as seguintes informações iniciais e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido:
Dados:
  • massa do gás: 5\\ \text{g}.
  • massa molar: M=14\\ \text{g/mol}.
  • pressão inicial: p_{1}=3\\ \text{atm}.
  • temperatura inicial: T_{1}=293\\ \text{K}.
  • processo 1: expansão isobárica até que o volume seja triplicado (ou seja, V_{2}=3V_{1}).
  • relação do gás: \;pV=nRT, com R=8{,}31\\ \text{J/mol K}.
  • relação da energia interna: \;E=(3/2)PV (portanto E=(3/2)nRT porque PV=nRT).
  • conversão necessária: 1\\ \text{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}.
O que é pedido:
(a) Volume e temperatura finais após a expansão isobárica ( V_{2} e T_{2}).
(b) Quantidade de energia térmica transferida para o gás ao final da expansão (isto é, o calor Q recebido no processo isobárico).
Depois, o gás sofre uma redução de pressão a volume constante até que a temperatura volte a T_{1}. Com isso, pede-se:
(c) A pressão final após esse processo (chamo de p_{3}).
(d) A quantidade de energia térmica transferida do gás durante o resfriamento isocórico (isto é, o calor Q nesse segundo processo).
(e) Representar o processo inteiro num diagrama p V e escolher escalas adequadas.

Passo 2

Calcular o número de mols n do gás e converter a pressão inicial para unidades SI (Pascal), porque vamos usar R em \text{J/mol K} (unidades SI).
Cálculo de n:
n=\frac{\text{massa}}{M}=\frac{5}{14}\\ \text{mol}=0{,}357142857\\ \text{mol}\approx0{,}35714\\ \text{mol}.
Conversão da pressão inicial:
p_{1}=3\\ \text{atm}=3\cdot\left(1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}\right)=3{,}039\times10^{5}\\ \text{Pa}.
Explicação rápida (didática): usamos mols porque a equação pV=nRT relaciona pressão, volume e temperatura com o número de mols. E usamos Pascal para pressão porque R está em \text{J/mol K} (onde 1\\ \text{J}=\text{Pa}\cdot\text{m}^3).

Passo 3

Calcular o volume inicial V_{1} usando p_{1}V_{1}=nRT_{1}.
Aplicando a equação:
V_{1}=\frac{nRT_{1}}{p_{1}}.
Substituindo números:
nRT_{1}= \left(\frac{5}{14}\right)\cdot8{,}31\cdot293.
Vou calcular passo a passo:
8{,}31\cdot293=2434{,}83,
nRT_{1}=\frac{5}{14}\cdot2434{,}83=\frac{12174{,}15}{14}=869{,}581\\ \text{(unidade: J)}.
Agora
V_{1}=\frac{869{,}581}{3{,}039\times10^{5}}=0{,}002861\\ \text{m}^{3}.
Interpretação prática: V_{1}\approx2{,}861\times10^{-3}\\ \text{m}^{3}, que em litros é 2{,}861\\ \text{L} (1 L = 10^{-3}\\ \text{m}^3).

Passo 4

Estado após a expansão isobárica até triplicar o volume.
Como a pressão é constante ( p_{2}=p_{1}) e V_{2}=3V_{1}, pela equação dos gases ideais a temperatura escala na mesma proporção do volume (porque T=\dfrac{pV}{nR}).
Logo:
V_{2}=3V_{1}=3\cdot0{,}002861=0{,}008583\\ \text{m}^{3}.
T_{2}=3T_{1}=3\cdot293=879\\ \text{K}.
Pequeno comentário didático: em processo isobárico, p fixo, então V\propto T. Triplicando V, triplicamos T.

Passo 5

Calcular a energia térmica adicionada ao longo da expansão isobárica (calor Q_{1}).
Método e fórmulas de base (explicação didática):
  • Energia interna de um gás monoatômico: E=(3/2)nRT. Assim, a variação de energia interna é
\Delta E=\frac{3}{2}nR\Delta T,
onde \Delta T=T_{2}-T_{1}.
  • Trabalho realizado pelo gás em processo isobárico: W=p\Delta V.
  • Primeira lei da termodinâmica (balanceamento): Q=\Delta E+W.
  • Para ideal monoatômico, isso resulta em Q=nC_{p}\Delta T com C_{p}=(5/2)R. Ambas as abordagens são equivalentes; usarei a forma Q=(5/2)nR\Delta T que é direta.
Calcule \Delta T:
\Delta T=T_{2}-T_{1}=879-293=586\\ \text{K}.
Calcule nR\Delta T (que também é p\Delta V):
nR\Delta T=\left(\frac{5}{14}\right)\cdot8{,}31\cdot586=1739{,}164\\ \text{J}.
Calcule \Delta E:
\Delta E=\frac{3}{2}nR\Delta T=1{,}5\cdot1739{,}164=2608{,}746\\ \text{J}.
Calcule Q_{1}:
Q_{1}=\Delta E+W=\Delta E+nR\Delta T=2608{,}746+1739{,}164=4347{,}910\\ \text{J}.
Ou usando Q_{1}=(5/2)nR\Delta T:
Q_{1}=2{,}5\cdot1739{,}164=4347{,}910\\ \text{J}.
Interpretação: o gás recebeu cerca de 4{,}35\times10^{3}\\ \text{J} durante a expansão isobárica.

Passo 6

Processo subsequente: redução da pressão a volume constante até que T volte a T_{1}.
Explicação didática: em processo isocórico ( V= constante), a relação entre pressão e temperatura é p\propto T (pelo ideal gas law, p=nR T /V e n,V,R constantes). Assim
\frac{p_{3}}{p_{2}}=\frac{T_{3}}{T_{2}}.
Aqui T_{3}=T_{1} (voltou à temperatura original) e p_{2}=p_{1}=3\\ \text{atm}.
Logo:
p_{3}=p_{2}\frac{T_{3}}{T_{2}}=3\\ \text{atm}\cdot\frac{293}{879}=3\cdot\frac{1}{3}=1\\ \text{atm}.
Comentário: simplificou-se porque T_{2}=3T_{1}, então p_{3}=p_{2}\cdot(1/3)=1\\ \text{atm}. Em unidades SI, p_{3}=1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}.

Passo 7

Calcular a energia térmica transferida do gás durante o resfriamento isocórico (calor Q_{2}).
Explicação didática: em processo isocórico, o trabalho é nulo ( W=0), logo pela primeira lei Q=\Delta E. Para gás monoatômico:
\Delta E=\frac{3}{2}nR\Delta T,
com \Delta T=T_{3}-T_{2}=293-879=-586\\ \text{K}.
Assim:
\Delta E=\frac{3}{2}\cdot nR\cdot(-586)= -2608{,}746\\ \text{J}.
Portanto o calor trocado é Q_{2}=-2608{,}746\\ \text{J}: isto significa que 2608{,}746\\ \text{J} foram transferidos do gás para o meio (ou seja, energia térmica removida do gás).

Passo 8

Preparar a representação do processo no diagrama p V e escolher escalas.
Coordenadas numéricas dos três estados para desenhar (valores calculados):
  • Estado 1 (inicial): p_{1}=3\\ \text{atm},\\ V_{1}=0{,}002861\\ \text{m}^{3} (ou 2{,}861\\ \text{L}).
  • Estado 2 (após isobárica): p_{2}=3\\ \text{atm},\\ V_{2}=0{,}008583\\ \text{m}^{3} (ou 8{,}583\\ \text{L}).
  • Estado 3 (após isocórico): p_{3}=1\\ \text{atm},\\ V_{3}=0{,}008583\\ \text{m}^{3} (ou 8{,}583\\ \text{L}).
Como desenhar (instruções práticas):
  • Use eixo horizontal para o volume V e eixo vertical para a pressão p.
  • Sugestão de escalas (usando unidades práticas):
    • Eixo V: de 0 a 9\\ \text{L} (marcas a cada 1\\ \text{L}); isso cobre V_{1}\approx2{,}86\\ \text{L} e V_{2}=8{,}58\\ \text{L}.
    • Eixo p: de 0 a 3{,}5\\ \text{atm} (marcas a cada 0{,}5\\ \text{atm}); isso mostra p_{1}=3\\ \text{atm} e p_{3}=1\\ \text{atm}.
  • Plotar ponto A: (V_{1},p_{1})=(2{,}861\\ \text{L},3\\ \text{atm}).
  • Desenhar uma linha horizontal (isobárica) de A até B: (V_{2},p_{2})=(8{,}583\\ \text{L},3\\ \text{atm}).
  • Desenhar uma linha vertical (isocórica) de B para C: (V_{2},p_{3})=(8{,}583\\ \text{L},1\\ \text{atm}).
  • Identifique setas no sentido do processo: A \to B (expansão isobárica), B \to C (resfriamento isocórico).
  • Observação: a área sob a curva no trecho A→B (linha horizontal) corresponde ao trabalho realizado W=p\Delta V. No trecho B→C, a área é zero (W=0).

Resposta

(a) V_{2}=0{,}008583\\ \text{m}^{3} \left(8{,}583\\ \text{L}\right), \;T_{2}=879\\ \text{K}.
(b) Q_{1}=4{,}347{,}91\\ \text{J} (energia térmica transferida para o gás na expansão).
(c) p_{3}=1\\ \text{atm} \left(1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}\right).
(d) Q_{2}=-2{,}608{,}75\\ \text{J} (ou seja, 2{,}608{,}75\\ \text{J} foram transferidos do gás para o meio).
(e) Diagrama p V: traçar A (2{,}861\\ \text{L},3\\ \text{atm}) → linha horizontal até B (8{,}583\\ \text{L},3\\ \text{atm}) → linha vertical descendente até C (8{,}583\\ \text{L},1\\ \text{atm}). Escalas sugeridas: V de 0 a 9\\ \text{L}, p de 0 a 3{,}5\\ \text{atm}.

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