Uma determinada máquina térmica fornece uma potência útil de 6,00 \mathrm{~kW} e tem um rendimento de 20,0 \%. A máquina rejeita 9 kJ de calor em cada ciclo. Encontre
(a) o calor absorvido em cada ciclo, e
(b) o tempo para cada ciclo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
  • Potência útil fornecida pela máquina: 6,00\\ \mathrm{kW}.
  • Rendimento da máquina: 20,0\%.
  • Calor rejeitado por ciclo: 9,00\\ \mathrm{kJ}.
Perguntas:
(a) Qual é o calor absorvido em cada ciclo?
(b) Qual é o tempo (duração) de cada ciclo?

Passo 2

Vamos definir variáveis e lembrar duas leis/identidades que vamos usar (sem resolver ainda).
Definições:
  • Q_{\text{in}} = calor absorvido pela máquina em cada ciclo (o que queremos em (a)).
  • Q_{\text{out}} = calor rejeitado em cada ciclo (dado: 9,00\\ \mathrm{kJ}).
  • W = trabalho (energia útil) entregue por ciclo.
  • P = potência útil (energia útil por tempo), aqui P=6,00\\ \mathrm{kW}.
  • t = tempo de duração de cada ciclo (o que queremos em (b)).
  • \eta = rendimento da máquina (a fração de Q_{\text{in}} que vira trabalho), aqui \eta=20,0\%=0,200.
Identidades importantes (explicadas abaixo):
  1. Conservação de energia por ciclo: Q_{\text{in}} = W + Q_{\text{out}}.
    • Explicação: a energia que entra como calor é dividida entre o trabalho útil que a máquina realiza e o calor rejeitado.
  2. Definição de rendimento: \eta = \dfrac{W}{Q_{\text{in}}}.
    • Explicação: o rendimento é a fração do calor absorvido que é convertido em trabalho.

Passo 3

A partir das identidades, vamos montar a equação que nos permite achar Q_{\text{in}}.
Escrevemos a conservação de energia:
Q_{\text{in}} = W + Q_{\text{out}}.
Usamos a definição do rendimento para substituir W por \eta Q_{\text{in}}:
W = \eta\,Q_{\text{in}}.
Substituindo na conservação de energia:
Q_{\text{in}} = \eta\,Q_{\text{in}} + Q_{\text{out}}.
Agora reorganizamos para isolar Q_{\text{in}}:
Q_{\text{in}} - \eta\,Q_{\text{in}} = Q_{\text{out}}
(1 - \eta)\,Q_{\text{in}} = Q_{\text{out}}
Q_{\text{in}} = \frac{Q_{\text{out}}}{1 - \eta}.

Passo 4

Vamos calcular numericamente Q_{\text{in}}. Primeiro, convertemos unidades quando necessário:
Q_{\text{out}} = 9,00\\ \mathrm{kJ} = 9000\\ \mathrm{J},
\eta = 20{,}0\% = 0{,}200.
Agora aplicamos a fórmula:
Q_{\text{in}} = \frac{9000\\ \mathrm{J}}{1 - 0{,}200} = \frac{9000\\ \mathrm{J}}{0{,}800}.
Fazendo a divisão:
Q_{\text{in}} = 11250\\ \mathrm{J} = 11{,}25\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: a máquina precisa absorver 11{,}25\\ \mathrm{kJ} por ciclo para rejeitar 9{,}00\\ \mathrm{kJ} e entregar trabalho com rendimento 20{,}0\%.

Passo 5

Agora calculamos o trabalho por ciclo W, que também vamos precisar para o tempo do ciclo.
Usamos W = \eta\,Q_{\text{in}}:
W = 0{,}200 \times 11250\\ \mathrm{J} = 2250\\ \mathrm{J} = 2{,}25\\ \mathrm{kJ}.
Explicação prática: em cada ciclo a máquina entrega 2{,}25\\ \mathrm{kJ} de energia útil (trabalho).

Passo 6

Relação entre potência P, trabalho por ciclo W e tempo por ciclo t:
P = \frac{W}{t} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{W}{P}.
Aqui P é a potência útil dada: P = 6{,}00\\ \mathrm{kW} = 6000\\ \mathrm{J/s}. Usamos W=2250\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calculamos o tempo de cada ciclo:
t = \frac{2250\\ \mathrm{J}}{6000\\ \mathrm{J/s}} = 0{,}375\\ \mathrm{s}.
Interpretação: cada ciclo dura 0{,}375\\ \mathrm{s}, isto é, menos de meio segundo — a máquina completa cerca de \dfrac{1}{0{,}375}\approx 2{,}667 ciclos por segundo (≈ 160 ciclos por minuto). Você pode arredondar conforme pedido, mas aqui deixei o valor exato com três casas decimais.

Resposta

(a) Q_{\text{in}} = 11{,}25\\ \mathrm{kJ}
(b) t = 0{,}375\\ \mathrm{s}

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