Em um recipiente isolado, 250 g de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} são adicionados a 600 g de água a 18^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Qual é temperatura final do sistema?
(b) Quanto gelo permanece quando o sistema atinge o equilíbrio?
Dados: Cagua =4189 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, Cgelo =2220 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{L}_{\text {fusão }}ã da água =3,33 \times 10^{5} \mathrm{~J} / \mathrm{kg}

Passo 1

O enunciado dá um sistema isolado com duas porções: gelo e água. Pergunta (a) qual é a temperatura final do sistema e (b) quanto de gelo permanece no equilíbrio. Informações fornecidas (vou listar exatamente os dados do enunciado, todos em TeX):
\text{massa do gelo } m_{\text{gelo}} = 250\\ \text{g} = 0{,}250\\ \text{kg}
\text{massa da água } m_{\text{agua}} = 600\\ \text{g} = 0{,}600\\ \text{kg}á
\text{temperatura inicial do gelo } T_{\text{gelo,i}} = 0^\circ\text{C}
\text{temperatura inicial da água } T_{\text{agua,i}} = 18^\circ\text{C}á
c_{\text{agua}} = 4189\\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot{}^\circ\text{C}^{-1}
c_{\text{gelo}} = 2220\\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot{}^\circ\text{C}^{-1}
L_{\text{fusao}} = 3{,}33\times 10^{5}\\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}
Observação importante que guia a solução: o gelo já está a 0^\circ\text{C} (ponto de fusão), então para derreter gelo não precisamos primeiro aquecê‑lo; precisamos apenas fornecer calor de fusão. O sistema é isolado, então a energia perdida pela água ao esfriar será igual à energia ganha pelo gelo (na forma de fusão e possível aquecimento), até o equilíbrio térmico.

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas físicas básicas que usaremos e explicar cada uma:
  • Calor sensível (variação de temperatura) recebido ou cedido por uma massa m que varia temperatura \Delta T é dado por
Q_{\text{sensible}} = m\,c\,\Delta T,
onde c é o calor específico (energia por unidade de massa por grau). Aqui Q>0 significa calor recebido pelo corpo.
  • Calor latente necessário para alterar a fase (fusão) de uma massa m é
Q_{\text{latente}} = m\,L_{\text{fusao}},
onde L_{\text{fusao}} é a entalpia de fusão por unidade de massa. Novamente, Q>0 significa calor absorvido para fundir.
Explicação física: ao misturar gelo a 0^\circ\text{C} com água a 18^\circ\text{C} em recipiente isolado, a água só pode ceder calor esfriando até, no mínimo, 0^\circ\text{C} (se algo ainda ficar líquido) — não vai abaixo de zero sem congelamento adicional. Se o calor cedido pela água ao cair de 18^\circ\text{C} para 0^\circ\text{C} for suficiente para fundir todo o gelo, então toda a mistura chegará a uma temperatura acima de 0^\circ\text{C}. Se não for suficiente, o equilíbrio ficará em 0^\circ\text{C} com parte do gelo ainda sólido. Então a verificação chave é comparar: calor disponível da água ao esfriar até 0^\circ\text{C} versus calor necessário para fundir todo o gelo.

Passo 3

Calcular o calor que a água pode ceder ao esfriar de 18^\circ\text{C} até 0^\circ\text{C}. Use a fórmula do calor sensível:
Q_{\text{disponivel}} = m_{\text{agua}} \, c_{\text{agua}} \, \Delta T
com \Delta T = T_{\text{agua,i}} - 0^\circ\text{C} = 18^\circ\text{C}. Substituindo os valores:
Q_{\text{disponivel}} = 0{,}600 \times 4189 \times 18.
Agora faço a conta passo a passo (mostrando como você pode fazer sem calculadora complexa):
4189\times 18 = 4189\times(20-2)=4189\times 20 - 4189\times 2 = 83{,}780 - 8{,}378 = 75{,}402.
0{,}600\times 75{,}402 = 0{,}6\times 75{,}402 = 45{,}241{,}2\\ \text{J}.
Portanto
Q_{\text{disponivel}} = 45{,}241{,}2\\ \text{J}.
Comentário amigável: esse é o “banco de energia” que a água pode emprestar ao gelo se esfriar até 0^\circ\text{C}.

Passo 4

Calcular o calor necessário para fundir todo o gelo (massa total m_{\text{gelo}}=0{,}250\\ \text{kg}) usando a fórmula do calor latente:
Q_{\text{necessario\_p\_tudo\_derreter}} = m_{\text{gelo}} \, L_{\text{fusao}} = 0{,}250 \times 3{,}33\times 10^{5}.
Faço a multiplicação:
0{,}250 \times 3{,}33\times 10^{5} = 0{,}25\times 333{,}000 = 83{,}250\\ \text{J}.
Portanto
Q_{\text{necessario\_p\_tudo\_derreter}} = 83{,}250\\ \text{J}.

Passo 5

Comparação decisiva (explicando o raciocínio): a água ao esfriar até 0^\circ\text{C} só fornece Q_{\text{disponivel}} = 45{,}241{,}2\\ \text{J}, enquanto para derreter todo o gelo seria preciso 83{,}250\\ \text{J}. Como
Q_{\text{disponivel}} < Q_{\text{necessario\_p\_tudo\_derreter}},
não há calor suficiente para derreter todo o gelo. Conclusão lógica: o sistema não atinge uma temperatura acima de 0^\circ\text{C}; o equilíbrio térmico ocorrerá em 0^\circ\text{C} com parte do gelo ainda presente. É por isso que, em misturas de gelo e água, se não houver calor suficiente, a temperatura final fica presa em 0^\circ\text{C}.

Passo 6

Agora calculamos quanto do gelo é efetivamente derretido pelo calor que a água fornece. O calor disponível será usado inteiramente para fundir uma fração do gelo (não há subida de temperatura porque estamos no ponto de fusão). Assim, massa fundida m_{\text{derretida}} satisfaz:
m_{\text{derretida}} \, L_{\text{fusao}} = Q_{\text{disponivel}}.
Logo
m_{\text{derretida}} = \frac{Q_{\text{disponivel}}}{L_{\text{fusao}}} = \frac{45{,}241{,}2}{3{,}33\times 10^{5}}.
Faço a divisão (mostrando como aproximar):
m_{\text{derretida}} \approx \frac{45{,}241{,}2}{333{,}000} \approx 0{,}13585\\ \text{kg}.
Convertendo para gramas:
m_{\text{derretida}} \approx 135{,}85\\ \text{g}.
Observação: mantive precisão razoável; em prova normalmente arredonda-se a, por exemplo, 136\\ \text{g} se for pedido com 3 algarismos significativos.

Passo 7

Calcular quanto de gelo permanece sólido no equilíbrio. A massa inicial do gelo era 0{,}250\\ \text{kg}. Portanto a massa remanescente é
m_{\text{remanescente}} = m_{\text{gelo}} - m_{\text{derretida}} = 0{,}250 - 0{,}13585 = 0{,}11415\\ \text{kg}.
Convertendo para gramas:
m_{\text{remanescente}} \approx 114{,}15\\ \text{g}.
Comentário prático: isso significa que a água esfriou até 0^\circ\text{C} e derreteu cerca de 136\\ \text{g} do gelo; o restante, aproximadamente 114\\ \text{g}, continua como gelo no equilíbrio.

Passo 8

Resumo físico final e checagem rápida (para você usar como justificativa na prova): energia cedida pela água ao cair a 0^\circ\text{C} foi toda consumida no processo de fusão parcial do gelo; não sobraram joules para aquecer a mistura acima de 0^\circ\text{C}. Portanto a temperatura final fica em 0^\circ\text{C} e a massa de gelo restante é a calculada acima.

Resposta

T_{\text{final}} = 0^\circ\text{C}\n
Gelo remanescente \approx 114{,}15\\ \text{g}

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