Uma amostra de
de He é expandida isotermicamente e reversivelmente a
a partir de um volume de
até
. Em seguida, mantendo-se a pressão constante, a temperatura é reduzida até que o volume do gás seja novamente
. Finalmente, o sistema é mantido a este volume e a temperatura é elevada até que a pressão seja igual à inicial. Represente o ciclo termodinâmico num diagrama
e calcule
e
para cada etapa e para o ciclo inteiro.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte (vou listar direitinho o que é fornecido e o que é pedido):
- Amostra:
de hélio ( ). - Processo 1: expansão isotérmica e reversível a
desde um volume inicial até . - Processo 2: mantendo-se a pressão constante (essa pressão é a pressão final do processo 1), reduz-se a temperatura até que o volume volte a
. - Processo 3: mantendo-se o volume em
, eleva-se a temperatura até que a pressão volte ao valor inicial do enunciado (isto fecha o ciclo). - Temperatura inicial do processo isotérmico:
.
O que o enunciado pede: - Representar o ciclo no diagrama
(descrever os pontos e as curvas). - Calcular, para cada etapa (1, 2 e 3) e para o ciclo inteiro, os valores de
, , e .
Passo 2
Antes de começar a conta, vamos fixar convenções e fórmulas fundamentais (explicadinhas, sem pressa):
- Convenção de sinais que vou usar:
é o calor trocado com o sistema (positivo quando entra calor no sistema), é o trabalho realizado pelo sistema (positivo quando o sistema realiza trabalho sobre o ambiente). Com essa convenção a primeira lei fica
Expliquei isso para ninguém se perder com sinais na hora da prova — é importante declarar.
- Gás ideal (hélio é muito bem aproximado por gás ideal). Lei dos gases ideais:
onde
é a pressão,
o volume,
a quantidade de matéria,
é a constante dos gases e
a temperatura em kelvin.
- Capacidades térmicas molares (gás monoatômico, como o He, no modelo ideal):
- Relações úteis:
- Trabalho em processo isotérmico reversível para gás ideal:
- Trabalho em processo a pressão constante (adiabático do ponto de vista do cálculo do trabalho):
- Para variação de energia interna de gás ideal:
- Para variação de entalpia:
- Unidades: converter volumes para o SI quando for usar a lei dos gases.
.
Passo 3
Calcular as pressões iniciais e intermediárias usando a lei dos gases (vou transformar volumes em
):
-
-
Usando, calculo a pressão inicial (que também é a pressão final do ciclo) e a pressão após a expansão isotérmica :
Faço a conta:
A pressão após a isoterma (quando
) é
Observe que
porque o volume dobrou na isoterma.
Passo 4
Teoria rápida: para gás ideal em processo isotérmico
e
, porque
e
dependem só da temperatura.
Fórmulas aplicáveis:
Fórmulas aplicáveis:
Cálculo numérico:
Como
, usamos o produto já calculado
:
Com a convenção adotada, o sistema realizou trabalho positivo na expansão, logo
Passo 5
Descrição física: a pressão é mantida em
(valor que calculei no passo 3). O volume diminui de
para
, portanto o sistema é comprimido (o trabalho feito pelo sistema será negativo).
Cálculos passo a passo:
Cálculos passo a passo:
- Variação de volume:
- Trabalho (lembrando
é trabalho feito pelo sistema):
(O sinal negativo indica que, nessa etapa, o trabalho é feito sobre o sistema.)
- Temperatura final após compressão: como
é constante, , então
- Variação de temperatura:
- Variação de energia interna:
Com
,
- Calor trocado (pela primeira lei
):
- Variação de entalpia (processo a
constante): . Com ,
Observação útil: para processo a pressão constante
— confirma o resultado.
Resumo desta etapa:
Passo 6
Descrição física: volume fixo, a pressão sobe até o valor inicial
, portanto a temperatura sobe de
para
que é igual à temperatura inicial
(porque
e
correspondem a
).
Cálculos:
Cálculos:
- Trabalho: em processo isocórico não há trabalho de expansão/compressão, logo
- Variação de temperatura:
- Variação de energia interna:
- Calor trocado:
- Variação de entalpia:
Resumo desta etapa:
Passo 7
Somando as três etapas:
- Trabalho total:
- Calor total:
- Energia interna total:
- Entalpia total:
Isso era esperado: voltamos ao estado inicial, logo
e
; pela primeira lei,
.
Diagrama
(descrição para desenhar na prova):
- Ponto A (estado inicial):
. - Processo 1 (A→B): isoterma a
que vai de até . No diagrama é uma curva decrescente suave (hipérbole) terminando em B. - Ponto B:
. - Processo 2 (B→C): linha horizontal (pressão constante
) de para (move-se para a esquerda); termina em C. - Ponto C:
. - Processo 3 (C→A): linha vertical (volume constante
) de para (sobe verticalmente). - O ciclo é no sentido horário (A→B→C→A) e a área fechada corresponde ao trabalho líquido realizado pelo sistema durante o ciclo, que é
.
Resposta
Etapa 1 (isotérmica):
Etapa 2 (isobárica a
):
Etapa 3 (isocórica):
Ciclo inteiro: