Uma amostra de 1,0 \mathrm{~mol} de He é expandida isotermicamente e reversivelmente a 22{ }^{\circ} \mathrm{C} a partir de um volume de 20 \mathrm{dm}^{3} até 40 \mathrm{dm}^{3}. Em seguida, mantendo-se a pressão constante, a temperatura é reduzida até que o volume do gás seja novamente 20 \mathrm{dm}^{3}. Finalmente, o sistema é mantido a este volume e a temperatura é elevada até que a pressão seja igual à inicial. Represente o ciclo termodinâmico num diagrama \mathrm{p} \times \mathrm{V} e calcule \mathrm{q}, \mathrm{w}, \Delta \mathrm{H} e \Delta \mathrm{U} para cada etapa e para o ciclo inteiro.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (vou listar direitinho o que é fornecido e o que é pedido):
  • Amostra: n=1{,}0\\ \mathrm{mol} de hélio ( \mathrm{He}).
  • Processo 1: expansão isotérmica e reversível a 22{ }^{\circ}\mathrm{C} desde um volume inicial V_1=20\\ \mathrm{dm}^{3} até V_2=40\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Processo 2: mantendo-se a pressão constante (essa pressão é a pressão final do processo 1), reduz-se a temperatura até que o volume volte a V_3=20\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Processo 3: mantendo-se o volume em 20\\ \mathrm{dm}^{3}, eleva-se a temperatura até que a pressão volte ao valor inicial do enunciado (isto fecha o ciclo).
  • Temperatura inicial do processo isotérmico: T_1=22{ }^{\circ}\mathrm{C}=295{,}15\\ \mathrm{K}.
    O que o enunciado pede:
  • Representar o ciclo no diagrama p\times V (descrever os pontos e as curvas).
  • Calcular, para cada etapa (1, 2 e 3) e para o ciclo inteiro, os valores de q, w, \Delta H e \Delta U.

Passo 2

Antes de começar a conta, vamos fixar convenções e fórmulas fundamentais (explicadinhas, sem pressa):
  • Convenção de sinais que vou usar: q é o calor trocado com o sistema (positivo quando entra calor no sistema), w é o trabalho realizado pelo sistema (positivo quando o sistema realiza trabalho sobre o ambiente). Com essa convenção a primeira lei fica
\Delta U = q - w.
Expliquei isso para ninguém se perder com sinais na hora da prova — é importante declarar.
  • Gás ideal (hélio é muito bem aproximado por gás ideal). Lei dos gases ideais:
pV = nRT,
onde p é a pressão, V o volume, n a quantidade de matéria, R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}} é a constante dos gases e T a temperatura em kelvin.
  • Capacidades térmicas molares (gás monoatômico, como o He, no modelo ideal):
C_V=\tfrac{3}{2}R,\qquad C_P=C_V+R=\tfrac{5}{2}R.
  • Relações úteis:
    • Trabalho em processo isotérmico reversível para gás ideal:
    w_{\text{isot}}=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
    • Trabalho em processo a pressão constante (adiabático do ponto de vista do cálculo do trabalho):
    w_{p} = p\,\Delta V = p\,(V_f-V_i).
    • Para variação de energia interna de gás ideal:
    \Delta U = n C_V \Delta T.
    • Para variação de entalpia:
    \Delta H = n C_P \Delta T.
  • Unidades: converter volumes para o SI quando for usar a lei dos gases. 1\\ \mathrm{dm}^{3}=1\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 3

Calcular as pressões iniciais e intermediárias usando a lei dos gases (vou transformar volumes em \mathrm{m}^{3}):
  • V_1=20\\ \mathrm{dm}^{3}=20\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}=0{,}020\\ \mathrm{m}^{3}.
  • V_2=40\\ \mathrm{dm}^{3}=0{,}040\\ \mathrm{m}^{3}.
    Usando p=\dfrac{nRT}{V}, calculo a pressão inicial p_1 (que também é a pressão final do ciclo) e a pressão após a expansão isotérmica p_2:
p_1=\dfrac{nRT_1}{V_1}=\dfrac{(1{,}0)(8{,}314)(295{,}15)}{0{,}020}\\ \mathrm{Pa}.
Faço a conta:
nRT_1=(1{,}0)(8{,}314)(295{,}15)\approx 2\,453{,}88\\ \mathrm{J}.
p_1=\dfrac{2\,453{,}88}{0{,}020}\approx 122\,693{,}9\\ \mathrm{Pa}.
A pressão após a isoterma (quando V=0{,}040\\ \mathrm{m}^{3}) é
p_2=\dfrac{nRT_1}{V_2}=\dfrac{2\,453{,}88}{0{,}040}\approx 61\,346{,}95\\ \mathrm{Pa}.
Observe que p_2=\tfrac{1}{2}p_1 porque o volume dobrou na isoterma.

Passo 4

Teoria rápida: para gás ideal em processo isotérmico \Delta U=0 e \Delta H=0, porque U e H dependem só da temperatura.
Fórmulas aplicáveis:
w_1 = nRT_1\ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right),\qquad \Delta U_1=0,\qquad \Delta H_1=0,\qquad q_1=w_1.
Cálculo numérico:
w_1=(1{,}0)(8{,}314)(295{,}15)\ln\!\left(\dfrac{0{,}040}{0{,}020}\right).
Como \ln(2)\approx 0{,}693147, usamos o produto já calculado nRT_1\approx 2\,453{,}88\\ \mathrm{J}:
w_1 \approx 2\,453{,}88\times 0{,}693147\approx 1\,700{,}4\\ \mathrm{J}.
Com a convenção adotada, o sistema realizou trabalho positivo na expansão, logo
q_1\approx 1\,700{,}4\\ \mathrm{J},\quad w_1\approx 1\,700{,}4\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_1=0,\quad \Delta H_1=0.

Passo 5

Descrição física: a pressão é mantida em p_2 (valor que calculei no passo 3). O volume diminui de V_2=0{,}040\\ \mathrm{m}^{3} para V_3=0{,}020\\ \mathrm{m}^{3}, portanto o sistema é comprimido (o trabalho feito pelo sistema será negativo).
Cálculos passo a passo:
  • Variação de volume:
\Delta V_2 = V_3-V_2 = 0{,}020-0{,}040 = -0{,}020\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Trabalho (lembrando w é trabalho feito pelo sistema):
w_2 = p_2\,\Delta V_2 \approx 61\,346{,}95\\ \mathrm{Pa}\times(-0{,}020\\ \mathrm{m}^{3})\approx -1\,226{,}94\\ \mathrm{J}.
(O sinal negativo indica que, nessa etapa, o trabalho é feito sobre o sistema.)
  • Temperatura final após compressão: como p é constante, V\propto T, então
T_3 = T_2\frac{V_3}{V_2}=295{,}15\times\frac{0{,}020}{0{,}040}=295{,}15\times\tfrac{1}{2}=147{,}575\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura: \Delta T_2 = T_3-T_2 = 147{,}575-295{,}15 = -147{,}575\\ \mathrm{K}.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_2 = n C_V \Delta T_2 = (1{,}0)\left(\tfrac{3}{2}R\right)(-147{,}575).
Com C_V=\tfrac{3}{2}R\approx 12{,}471\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}},
\Delta U_2\approx 12{,}471\times(-147{,}575)\approx -1\,840{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado (pela primeira lei \Delta U=q-w\Rightarrow q=\Delta U+w):
q_2=\Delta U_2 + w_2\approx -1\,840{,}4 + (-1\,226{,}94)\approx -3\,067{,}3\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia (processo a p constante): \Delta H_2=n C_P \Delta T_2. Com C_P=\tfrac{5}{2}R\approx 20{,}785\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}},
\Delta H_2\approx 20{,}785\times(-147{,}575)\approx -3\,067{,}3\\ \mathrm{J}.
Observação útil: para processo a pressão constante q_p=\Delta H — confirma o resultado.
Resumo desta etapa:
w_2\approx -1\,226{,}9\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_2\approx -1\,840{,}4\\ \mathrm{J},\quad q_2\approx -3\,067{,}3\\ \mathrm{J},\quad \Delta H_2\approx -3\,067{,}3\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Descrição física: volume fixo, a pressão sobe até o valor inicial p_1, portanto a temperatura sobe de T_3 para T_4 que é igual à temperatura inicial T_1 (porque p_1 e V_3 correspondem a T_1).
Cálculos:
  • Trabalho: em processo isocórico não há trabalho de expansão/compressão, logo
w_3=0.
  • Variação de temperatura:
\Delta T_3 = T_4-T_3 = 295{,}15-147{,}575 = +147{,}575\\ \mathrm{K}.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_3 = n C_V \Delta T_3 \approx 12{,}471\times 147{,}575\approx +1\,840{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado:
q_3=\Delta U_3 + w_3 = 1\,840{,}4 + 0 = 1\,840{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia:
\Delta H_3 = n C_P \Delta T_3 \approx 20{,}785\times 147{,}575\approx +3\,067{,}3\\ \mathrm{J}.
Resumo desta etapa:
w_3=0,\quad \Delta U_3\approx +1\,840{,}4\\ \mathrm{J},\quad q_3\approx +1\,840{,}4\\ \mathrm{J},\quad \Delta H_3\approx +3\,067{,}3\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Somando as três etapas:
  • Trabalho total:
w_{\text{tot}}=w_1+w_2+w_3\approx 1\,700{,}4 + (-1\,226{,}9) + 0 \approx 473{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Calor total:
q_{\text{tot}}=q_1+q_2+q_3\approx 1\,700{,}4 + (-3\,067{,}3) + 1\,840{,}4 \approx 473{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Energia interna total:
\Delta U_{\text{tot}}=\Delta U_1+\Delta U_2+\Delta U_3\approx 0 + (-1\,840{,}4) + 1\,840{,}4 = 0.
  • Entalpia total:
\Delta H_{\text{tot}}=\Delta H_1+\Delta H_2+\Delta H_3\approx 0 + (-3\,067{,}3) + 3\,067{,}3 = 0.
Isso era esperado: voltamos ao estado inicial, logo \Delta U_{\text{tot}}=0 e \Delta H_{\text{tot}}=0; pela primeira lei, q_{\text{tot}}=w_{\text{tot}}.
Diagrama p\times V (descrição para desenhar na prova):
  • Ponto A (estado inicial): (V_1,p_1)=(0{,}020\\ \mathrm{m}^{3},\;122\,693{,}9\\ \mathrm{Pa}).
  • Processo 1 (A→B): isoterma a T=295{,}15\\ \mathrm{K} que vai de V=0{,}020 até V=0{,}040. No diagrama é uma curva decrescente suave (hipérbole) terminando em B.
  • Ponto B: (V_2,p_2)=(0{,}040\\ \mathrm{m}^{3},\;61\,346{,}95\\ \mathrm{Pa}).
  • Processo 2 (B→C): linha horizontal (pressão constante p_2) de V=0{,}040 para V=0{,}020 (move-se para a esquerda); termina em C.
  • Ponto C: (V_3,p_2)=(0{,}020\\ \mathrm{m}^{3},\;61\,346{,}95\\ \mathrm{Pa}).
  • Processo 3 (C→A): linha vertical (volume constante V=0{,}020\\ \mathrm{m}^{3}) de p_2 para p_1 (sobe verticalmente).
  • O ciclo é no sentido horário (A→B→C→A) e a área fechada corresponde ao trabalho líquido realizado pelo sistema durante o ciclo, que é w_{\text{tot}}\approx 473{,}5\\ \mathrm{J}.

Resposta

Etapa 1 (isotérmica): q_1\approx 1\,700{,}4\\ \mathrm{J},\\ w_1\approx 1\,700{,}4\\ \mathrm{J},\\ \Delta H_1=0,\\ \Delta U_1=0
Etapa 2 (isobárica a p_2): q_2\approx -3\,067{,}3\\ \mathrm{J},\\ w_2\approx -1\,226{,}9\\ \mathrm{J},\\ \Delta H_2\approx -3\,067{,}3\\ \mathrm{J},\\ \Delta U_2\approx -1\,840{,}4\\ \mathrm{J}
Etapa 3 (isocórica): q_3\approx 1\,840{,}4\\ \mathrm{J},\\ w_3=0,\\ \Delta H_3\approx 3\,067{,}3\\ \mathrm{J},\\ \Delta U_3\approx 1\,840{,}4\\ \mathrm{J}
Ciclo inteiro: q_{\text{tot}}\approx 473{,}5\\ \mathrm{J},\\ w_{\text{tot}}\approx 473{,}5\\ \mathrm{J},\\ \Delta H_{\text{tot}}=0,\\ \Delta U_{\text{tot}}=0

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