(1.0 Ponto) Uma esfera de raio R tem uma densidade de carga volumétrica \rho uniformemente distribuída. Determine o campo magnético dentro e fora da esfera quando ela rotaciona com uma velocidade angular \omega.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado nos dá uma esfera sólida de raio R com densidade volumétrica de carga uniforme \rho.
A esfera gira com velocidade angular \boldsymbol{\omega} constante (eixo fixo).
Pede-se o campo magnético \mathbf{B} tanto para pontos dentro da esfera (r\le R) quanto para pontos fora (r>R).
Informações relevantes extraídas do enunciado/imagem:
O raio da esfera é R.
A carga total é Q=\rho\cdot (volume da esfera) =\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3.
A rotação é rígida com velocidade angular \boldsymbol{\omega} (direção do eixo indicada na figura).
O que vamos calcular (resumo):
determinar a densidade de corrente volumétrica que surge da rotação da carga;
calcular o momento magnético total \mathbf{m} da distribuição de correntes;
obter o campo magnético fora como campo dipolar associado a \mathbf{m};
resolver explicitamente as equações de magnetostática para obter \mathbf{B} dentro da esfera e aplicar condições de contorno na superfície r=R.
Passo 2
Densidade de corrente produzida pela rotação — conceito e fórmula.
Quando uma carga volumétrica \rho se move com velocidade \mathbf{v}(\mathbf{r}), gera uma densidade de corrente volumétrica
Para rotação rígida com velocidade angular \boldsymbol{\omega}, a velocidade em um ponto \mathbf{r} é \mathbf{v}(\mathbf{r})=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}.
Explicação didática: isso significa que cada pedacinho de carga se move em círculos em torno do eixo de rotação; a corrente volumétrica é proporcional à densidade de carga e à velocidade local.
Passo 3
Cálculo do momento magnético total \mathbf{m} da distribuição de corrente — motivo e método.
A definição de momento magnético para correntes volumétricas é
Em termos da carga total Q=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3, fica mais compacto:
\mathbf{m}=\frac{1}{5}Q\,\boldsymbol{\omega}R^2.
Interpretação: a rotação da carga cria um dipolo magnético que aponta na direção de \boldsymbol{\omega}. A expressão em termos de Q é prática para relacionar com a carga total.
Passo 4
Campo fora da esfera (r>R): forma dipolar.
A distribuição de corrente compacta (toda limitada ao raio R) se comporta, a grandes distâncias, como um dipolo magnético com momento \mathbf{m} calculado acima.
Substituindo \mathbf{m}=\tfrac{1}{5}Q\boldsymbol{\omega}R^2 obtemos o campo para r>R.
Didática breve: esse é o mesmo formato do campo elétrico de um dipolo, com \mu_0 e \mathbf{m} no lugar da constante elétrica e do momento elétrico. Assim, fora da esfera o campo depende só do momento total, não dos detalhes internos.
Passo 5
Estratégia para achar o campo dentro (r\le R): usar potencial vetor com simetria.
Pela simetria axial (eixo definido por \boldsymbol{\omega}) o potencial vetor \mathbf{A} terá apenas componente azimutal \hat{\boldsymbol\varphi} e depende de r e \theta via um fator \sin\theta. Assim assumimos
Em magnetostática, no calibre de Coulomb, \nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}. A equação escalar para a(r) (após separar a dependência angular) reduz-se a uma EDO radial:
a_{\text{in}}(r)=C_1 r + C_2 r^{-2} -\frac{\mu_0\rho}{10}r^3.
Regularidade no centro pede C_2=0, então
a_{\text{in}}(r)=C_1 r -\frac{\mu_0\rho}{10}r^3\qquad (r\le R).
No exterior (r>R), a equação é homogênea e a solução regular no infinito é
a_{\text{out}}(r)=B r^{-2}\qquad (r>R).
Explicação: escolher forma a(r)\sin\theta é padrão em problemas axisimétricos porque o termo \sin\theta corresponde ao modo l=1 (dipolar), que é o que a fonte gera (já que \mathbf{J} é proporcional a r\sin\theta).
Passo 6
Aplicar condições de contorno em r=R e determinar constantes.
Condições: \mathbf{A} tangencial contínua e \mathbf{B} tangencial contínua quando não há corrente de superfície. Essas condições equivalem a:
Confirmação rápida: comparando a constante B com a forma dipolar A_\varphi^{\text{(dip)}}=\dfrac{\mu_0 m\sin\theta}{4\pi r^2} obtém-se o mesmo momento magnético \mathbf{m}=\dfrac{4\pi}{\mu_0}B\,\hat{\boldsymbol\omega}=\dfrac{4\pi}{15}\rho R^5\boldsymbol{\omega}, consistente com o cálculo anterior.
Passo 7
Expressão explícita do campo magnético dentro (r\le R): cálculo de \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.
Com a_{\text{in}}(r)=C_1 r -\dfrac{\mu_0\rho}{10}r^3 e A_\varphi=a_{\text{in}}(r)\sin\theta, as componentes em coordenadas esféricas são (fórmulas padrão)
onde \omega=|\boldsymbol{\omega}| e a direção de \boldsymbol{\omega} define o eixo polar (ou seja, \cos\theta=\hat{\mathbf r}\cdot\hat{\boldsymbol\omega}).
mostrando que o campo no centro é finito e paralelo ao eixo de rotação.
Didática: a expressão mostra que o campo dentro não é uniforme em r (depende de r^2), mas é sempre axialmente simétrico com relação a \boldsymbol{\omega}.
Passo 8
Resumo final e forma externa explícita usando \mathbf{m}.
Campo fora (r>R), usando \mathbf{m}=\tfrac{4\pi}{15}\rho R^5\,\boldsymbol{\omega}=\tfrac{1}{5}Q\boldsymbol{\omega}R^2: