(1.0 Ponto) Uma esfera de raio R tem uma densidade de carga volumétrica \rho uniformemente distribuída. Determine o campo magnético dentro e fora da esfera quando ela rotaciona com uma velocidade angular \omega.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos dá uma esfera sólida de raio R com densidade volumétrica de carga uniforme \rho.
  • A esfera gira com velocidade angular \boldsymbol{\omega} constante (eixo fixo).
  • Pede-se o campo magnético \mathbf{B} tanto para pontos dentro da esfera ( r\le R) quanto para pontos fora ( r>R).
Informações relevantes extraídas do enunciado/imagem:
  • O raio da esfera é R.
  • A carga total é Q=\rho\cdot (volume da esfera) =\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3.
  • A rotação é rígida com velocidade angular \boldsymbol{\omega} (direção do eixo indicada na figura).
O que vamos calcular (resumo):
  1. determinar a densidade de corrente volumétrica que surge da rotação da carga;
  2. calcular o momento magnético total \mathbf{m} da distribuição de correntes;
  3. obter o campo magnético fora como campo dipolar associado a \mathbf{m};
  4. resolver explicitamente as equações de magnetostática para obter \mathbf{B} dentro da esfera e aplicar condições de contorno na superfície r=R.

Passo 2

Densidade de corrente produzida pela rotação — conceito e fórmula.
  • Quando uma carga volumétrica \rho se move com velocidade \mathbf{v}(\mathbf{r}), gera uma densidade de corrente volumétrica
\mathbf{J}(\mathbf{r})=\rho\,\mathbf{v}(\mathbf{r}).
  • Para rotação rígida com velocidade angular \boldsymbol{\omega}, a velocidade em um ponto \mathbf{r} é \mathbf{v}(\mathbf{r})=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}.
  • Logo, a densidade de corrente é
\mathbf{J}(\mathbf{r})=\rho\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}).
Explicação didática: isso significa que cada pedacinho de carga se move em círculos em torno do eixo de rotação; a corrente volumétrica é proporcional à densidade de carga e à velocidade local.

Passo 3

Cálculo do momento magnético total \mathbf{m} da distribuição de corrente — motivo e método.
  • A definição de momento magnético para correntes volumétricas é
\mathbf{m}=\tfrac{1}{2}\int \mathbf{r}\times\mathbf{J}(\mathbf{r})\,dV.
  • Substituindo \mathbf{J}=\rho(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}),
\mathbf{m}=\tfrac{1}{2}\rho\int \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\,dV.
  • Usamos a identidade vetorial
\mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})=\boldsymbol{\omega}\,r^2 - \mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega}).
  • Então
\mathbf{m}=\tfrac{1}{2}\rho\int\!\left(\boldsymbol{\omega}\,r^2 - \mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})\right)\,dV.
  • Como \boldsymbol{\omega} é constante, e pela simetria esférica vale
\int \mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})\,dV=\frac{1}{3}\boldsymbol{\omega}\int r^2\,dV.
  • Portanto
\mathbf{m}=\tfrac{1}{2}\rho\left(1-\tfrac{1}{3}\right)\boldsymbol{\omega}\int r^2\,dV =\tfrac{1}{3}\rho\,\boldsymbol{\omega}\int r^2\,dV.
  • Calcule a integral no volume da esfera:
\int_{V} r^2\,dV = \int_0^R r^2\cdot 4\pi r^2\,dr =4\pi\int_0^R r^4\,dr = \frac{4\pi R^5}{5}.
  • Assim
\mathbf{m}=\frac{1}{3}\rho\,\boldsymbol{\omega}\cdot\frac{4\pi R^5}{5}=\frac{4\pi}{15}\rho\,\boldsymbol{\omega}R^5.
  • Em termos da carga total Q=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3, fica mais compacto:
\mathbf{m}=\frac{1}{5}Q\,\boldsymbol{\omega}R^2.
Interpretação: a rotação da carga cria um dipolo magnético que aponta na direção de \boldsymbol{\omega}. A expressão em termos de Q é prática para relacionar com a carga total.

Passo 4

Campo fora da esfera ( r>R): forma dipolar.
  • A distribuição de corrente compacta (toda limitada ao raio R) se comporta, a grandes distâncias, como um dipolo magnético com momento \mathbf{m} calculado acima.
  • O campo magnético dipolar no espaço livre é
\mathbf{B}_{\text{out}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf{m}}{r^3},
onde \hat{\mathbf r}=\mathbf{r}/r.
  • Substituindo \mathbf{m}=\tfrac{1}{5}Q\boldsymbol{\omega}R^2 obtemos o campo para r>R.
Didática breve: esse é o mesmo formato do campo elétrico de um dipolo, com \mu_0 e \mathbf{m} no lugar da constante elétrica e do momento elétrico. Assim, fora da esfera o campo depende só do momento total, não dos detalhes internos.

Passo 5

Estratégia para achar o campo dentro ( r\le R): usar potencial vetor com simetria.
  • Pela simetria axial (eixo definido por \boldsymbol{\omega}) o potencial vetor \mathbf{A} terá apenas componente azimutal \hat{\boldsymbol\varphi} e depende de r e \theta via um fator \sin\theta. Assim assumimos
\mathbf{A}(r,\theta)=a(r)\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi}.
  • Em magnetostática, no calibre de Coulomb, \nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}. A equação escalar para a(r) (após separar a dependência angular) reduz-se a uma EDO radial:
r^2 a''(r)+2r a'(r)-2a(r)=-\mu_0\rho\, r^3\quad (r\le R).
  • A solução geral da equação é da forma
a_{\text{in}}(r)=C_1 r + C_2 r^{-2} -\frac{\mu_0\rho}{10}r^3.
  • Regularidade no centro pede C_2=0, então
a_{\text{in}}(r)=C_1 r -\frac{\mu_0\rho}{10}r^3\qquad (r\le R).
  • No exterior ( r>R), a equação é homogênea e a solução regular no infinito é
a_{\text{out}}(r)=B r^{-2}\qquad (r>R).
Explicação: escolher forma a(r)\sin\theta é padrão em problemas axisimétricos porque o termo \sin\theta corresponde ao modo l=1 (dipolar), que é o que a fonte gera (já que \mathbf{J} é proporcional a r\sin\theta).

Passo 6

Aplicar condições de contorno em r=R e determinar constantes.
  • Condições: \mathbf{A} tangencial contínua e \mathbf{B} tangencial contínua quando não há corrente de superfície. Essas condições equivalem a:
a_{\text{in}}(R)=a_{\text{out}}(R), \qquad \left.\frac{d}{dr}\big(r a_{\text{in}}(r)\big)\right|_{r=R}=\left.\frac{d}{dr}\big(r a_{\text{out}}(r)\big)\right|_{r=R}.
  • Resolvendo o sistema obtemos (cálculo direto detalhado)
C_1=\frac{\mu_0\rho}{6}R^2,\qquad B=\frac{\mu_0\rho}{15}R^5.
  • Confirmação rápida: comparando a constante B com a forma dipolar A_\varphi^{\text{(dip)}}=\dfrac{\mu_0 m\sin\theta}{4\pi r^2} obtém-se o mesmo momento magnético \mathbf{m}=\dfrac{4\pi}{\mu_0}B\,\hat{\boldsymbol\omega}=\dfrac{4\pi}{15}\rho R^5\boldsymbol{\omega}, consistente com o cálculo anterior.

Passo 7

Expressão explícita do campo magnético dentro ( r\le R): cálculo de \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.
  • Com a_{\text{in}}(r)=C_1 r -\dfrac{\mu_0\rho}{10}r^3 e A_\varphi=a_{\text{in}}(r)\sin\theta, as componentes em coordenadas esféricas são (fórmulas padrão)
B_r=\frac{2a(r)\cos\theta}{r},\qquad B_\theta=-\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r a(r)\big)\sin\theta.
  • Substituindo C_1 e simplificando obtemos, para r\le R,
\mathbf{B}_{\text{in}}(r,\theta)=\frac{\mu_0\rho\omega}{15}\Big[(5R^2-3r^2)\cos\theta\,\hat{\mathbf r}+(6r^2-5R^2)\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}\Big],
onde \omega=|\boldsymbol{\omega}| e a direção de \boldsymbol{\omega} define o eixo polar (ou seja, \cos\theta=\hat{\mathbf r}\cdot\hat{\boldsymbol\omega}).
  • Observação: no centro ( r=0) isso dá
\mathbf{B}_{\text{in}}(0)=\frac{\mu_0\rho\omega R^2}{3}\,\hat{\boldsymbol\omega},
mostrando que o campo no centro é finito e paralelo ao eixo de rotação.
Didática: a expressão mostra que o campo dentro não é uniforme em r (depende de r^2), mas é sempre axialmente simétrico com relação a \boldsymbol{\omega}.

Passo 8

Resumo final e forma externa explícita usando \mathbf{m}.
  • Campo fora ( r>R), usando \mathbf{m}=\tfrac{4\pi}{15}\rho R^5\,\boldsymbol{\omega}=\tfrac{1}{5}Q\boldsymbol{\omega}R^2:
\mathbf{B}_{\text{out}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf{m}}{r^3}.
  • Campo dentro ( r\le R): repetir a fórmula obtida
\mathbf{B}_{\text{in}}(r,\theta)=\frac{\mu_0\rho\omega}{15}\Big[(5R^2-3r^2)\cos\theta\,\hat{\mathbf r}+(6r^2-5R^2)\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}\Big].

Resposta

\displaystyle \mathbf{B}_{\text{in}}(r,\theta)=\frac{\mu_0\rho\omega}{15}\Big[(5R^2-3r^2)\cos\theta\,\hat{\mathbf r}+(6r^2-5R^2)\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}\Big]\quad (r\le R)
\displaystyle \mathbf{B}_{\text{out}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf{m}}{r^3}\quad (r>R),\quad\mathbf{m}=\frac{4\pi}{15}\rho R^5\,\boldsymbol{\omega}=\frac{1}{5}Q\,\boldsymbol{\omega}R^2

Exercícios relacionados