Considere um cilindro contendo 180 g de água a 298 K e 100 kPa em cujo interior encontra-se um resistor de aquecimento imerso e sobre a qual se apoia um pistão móvel (de massa desprezível). Durante certo tempo passou-se uma corrente elétrica pelo resistor até observar-se uma variação de volume de 1L. De quanto foi a variação total de entropia do sistema? (dados: \mathrm{C}_{\mathrm{p}, \mathrm{m}} (água) =75.3 \mathrm{~J} . \mathrm{K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}, \Delta \mathrm{H}^{0} vap(água) =40,65 \mathrm{kJmol}^{-1} ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Massa de água: \,m=180\\ \mathrm{g}.
    • Temperatura inicial: \,T_1=298\\ \mathrm{K}.
    • Pressão constante externa (e interna, pistão sem massa): \,p=100\\ \mathrm{kPa}=1{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • Variação de volume observada: \Delta V=1{,}0\\ \mathrm{L}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
    • Capacidade térmica molar da água líquida: \,C_{p,\mathrm{m}}=75{,}3\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}.
    • Entalpia molar de vaporização (à pressão de ebulição padrão): \,\Delta H_{\mathrm{vap}}^{0}=40{,}65\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}=4{,}065\times10^{4}\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
    • Massa molar da água (valor a usar): \,M=18{,}015\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a variação total de entropia do sistema (a água no cilindro) durante o processo em que se passa corrente pelo resistor e o volume aumenta em \Delta V.

Passo 2

Plano de resolução (justificativa física — não calcula ainda):
  • Entropia S é função de estado. Portanto posso escolher qualquer caminho reversível entre o estado inicial e final para calcular \Delta S.
  • Como o pistão é de massa desprezível, a pressão dentro do cilindro permanece igual à pressão externa \,p=100\\ \mathrm{kPa}. Assim a parte evaporada estará à temperatura de saturação correspondente a essa pressão.
  • Vou tomar um caminho reversível conveniente:
    1. Aquecer a água líquida reversivelmente de T_1=298\\ \mathrm{K} até a temperatura de saturação \,T_{\mathrm{sat}} correspondente a \,p=100\\ \mathrm{kPa}.
    2. Vaporizar reversivelmente uma fração da massa (a quantidade que corresponde ao aumento de volume observado \Delta V) à temperatura isobárica \,T_{\mathrm{sat}}.
  • A variação total de entropia do sistema será a soma da contribuição do aquecimento reversível da massa total e da contribuição associada à vaporização da fração vaporada.
  • Para estimar o número de mols vaporizados a partir de \Delta V vou usar a aproximação do gás ideal para o vapor saturado (o erro será pequeno porque a fração vaporizada é pequena para o \Delta V dado).

Passo 3

Calcular o número total de mols de água disponível:
n_{\mathrm{tot}}=\frac{m}{M}=\frac{180\\ \mathrm{g}}{18{,}015\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}}.
Calculemos numericamente:
n_{\mathrm{tot}} \approx 9{,}989\\ \mathrm{mol}.
Explicação didática: aqui transformei massa em número de mols dividindo pela massa molar; n é a quantidade de substância que usaremos nas fórmulas termodinâmicas molares.

Passo 4

Determinar a temperatura de saturação correspondente a p=100\\ \mathrm{kPa}:
  • A pressão dada é praticamente 1 atm; a temperatura de ebulição à pressão atmosférica é \,T_{\mathrm{sat}}\approx373{,}15\\ \mathrm{K} (ou 100^\circ\mathrm{C}). Para este exercício usaremos \,T_{\mathrm{sat}=373{,}15\\ \mathrm{K}}.
  • Observação didática: como o processo ocorre à pressão constante imposta pelo pistão, a vaporização (quando ocorre) acontece à temperatura de saturação correspondente a essa pressão. Por isso aquecemos até \,T_{\mathrm{sat}} antes de vaporizar.

Passo 5

Calcular o volume molar do vapor saturado aproximando-o por gás ideal:
Fórmula (lei dos gases ideais por mol):
\bar v_g=\frac{R\,T_{\mathrm{sat}}}{p},
onde \,R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, \,T_{\mathrm{sat}}=373{,}15\\ \mathrm{K} e \,p=1{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Cálculo numérico:
\bar v_g=\frac{8{,}314\cdot373{,}15}{1{,}00\times10^{5}}\\ \mathrm{m^{3}\cdot mol^{-1}}\approx0{,}031015\\ \mathrm{m^{3}\cdot mol^{-1}}.
Interpretação: cada mol de vapor ocupa cerca de 31{,}0\\ \mathrm{L} nessas condições.

Passo 6

Determinar quantos mols foram vaporizados com a variação de volume \Delta V:
n_{\mathrm{vap}}=\frac{\Delta V}{\bar v_g}=\frac{1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}}{0{,}031015\\ \mathrm{m^{3}\cdot mol^{-1}}}.
Cálculo numérico:
n_{\mathrm{vap}}\approx0{,}03224\\ \mathrm{mol}.
Comentário didático: é uma fração pequena do total ( \approx0{,}32\% dos \,9{,}99\\ \mathrm{mol}), por isso a maior parte da água continua líquida; o aumento volumétrico é dominado pelo grande volume molar do vapor.

Passo 7

Calcular a variação de entropia associada ao aquecimento reversível da massa total de T_1 até T_{\mathrm{sat}}:
Fórmula para aquecimento reversível com C_p aproximadamente constante:
\Delta S_{\mathrm{aquec}} = n_{\mathrm{tot}}\,C_{p,\mathrm{m}}\,\ln\!\left(\frac{T_{\mathrm{sat}}}{T_1}\right).
Explicação didática: para um processo reversível de aquecimento a pressão (ou volume) onde C_p é aproximadamente constante, a pequena variação de entropia é dS=\frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}=\frac{nC_p\,dT}{T}; integrar dá a fórmula acima. Aqui C_{p,\mathrm{m}} é a capacidade térmica molar (energia necessária por mol para aumentar a T em 1 K).
Substituindo valores:
\Delta S_{\mathrm{aquec}} = 9{,}989\cdot75{,}3\cdot\ln\!\left(\frac{373{,}15}{298}\right)\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
Cálculo numérico:
\ln\!\left(\frac{373{,}15}{298}\right)\approx0{,}22477,
\Delta S_{\mathrm{aquec}}\approx9{,}989\cdot75{,}3\cdot0{,}22477\approx169{,}02\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.

Passo 8

Calcular a variação de entropia associada à vaporização reversível da fração n_{\mathrm{vap}}:
Fórmula para vaporização reversível (isotérmica na temperatura de saturação):
\Delta S_{\mathrm{vap}} = n_{\mathrm{vap}}\cdot\frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{T_{\mathrm{sat}}}.
Explicação didática: para uma transição de fase reversível à temperatura T, a variação de entropia por mol é \Delta s=\Delta H_{\mathrm{vap}}/T, porque \delta Q_{\mathrm{rev}}=\Delta H_{\mathrm{vap}} por mol na vaporização e \Delta S=\int \delta Q_{\mathrm{rev}}/T.
Substituindo valores:
\Delta S_{\mathrm{vap}} = 0{,}03224\cdot\frac{4{,}065\times10^{4}}{373{,}15}\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
Cálculo numérico:
\frac{4{,}065\times10^{4}}{373{,}15}\approx108{,}90\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
\Delta S_{\mathrm{vap}}\approx0{,}03224\cdot108{,}90\approx3{,}51\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.

Passo 9

Somar as contribuições para obter a variação total de entropia do sistema:
\Delta S_{\mathrm{total}}=\Delta S_{\mathrm{aquec}}+\Delta S_{\mathrm{vap}}.
Substituindo os valores calculados:
\Delta S_{\mathrm{total}}\approx169{,}02+3{,}51\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}\approx172{,}53\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\Delta S_{\mathrm{total}}\approx172{,}5\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
Comentário final didático e de incentivo: a entropia do sistema aumentou (valor positivo), o que faz sentido porque calor entrou e parte da água virou vapor. Você viu como usar a propriedade de função de estado da entropia para escolher um caminho reversível fácil de integrar: aquecimento + vaporização. Até agora você já domina a receita para esse tipo de problema — muito bom!

Resposta

\Delta S_{\mathrm{total}}\approx172{,}5\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}

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