Uma amostra de um metal alcalino que apresenta cela unitária do tipo CCC apresenta massa de 1,00 \mathrm{~g} e um volume de 1,03 \mathrm{~cm}^{3}. Quando esta amostra do metal reage com excesso de água, são produzidos 539 mL de gás hidrogênio a 0,980 \mathrm{~atm} e 23^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Identifique este metal. (R. Na)
(b) Determine o comprimento da aresta da cela unitária desse composto. Apresente o resultado em pm. 428pm

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra metálica de massa 1{,}00,g e volume 1{,}03,cm³, que reage com excesso de água liberando 539,mL de H₂ nas condições P=0{,}980,atm e T=23^\circ\mathrm{C}. A cela unitária é do tipo CCC (cúbica de corpo centrado, BCC). Vamos usar (1) a lei dos gases ideais para achar o número de mols de H₂, (2) a estequiometria da reação para determinar a massa molar do metal e identificá-lo, e (3) a relação entre densidade, massa molar e parâmetro de rede em BCC para calcular o comprimento da aresta.

Passo 2

Convertendo a temperatura para kelvin e aplicando a lei dos gases ideais:
T = 23^\circ\mathrm{C} + 273 = 296\\ \mathrm{K},
n_{\mathrm{H_2}} = \frac{P\,V}{R\,T} = \frac{0{,}980\\ \mathrm{atm}\times 0{,}539\\ \mathrm{L}}{0{,}08206\\ \mathrm{L\,atm\,mol^{-1}K^{-1}}\times 296\\ \mathrm{K}} \approx 0{,}0217\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

A reação genérica é
M + H_2O \longrightarrow M^+ + OH^- + \tfrac12\,H_2,
logo cada mol de metal produz \tfrac12 mol de H₂. Assim
n_M = 2\,n_{\mathrm{H_2}} = 2\times 0{,}0217 = 0{,}0434\\ \mathrm{mol}.
A massa molar do metal é
M_M = \frac{1{,}00\\ \mathrm{g}}{0{,}0434\\ \mathrm{mol}} \approx 23{,}04\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 4

O valor de 23{,}0,g/mol corresponde ao sódio, \mathrm{Na}.

Passo 5

Calculamos a densidade do metal para usar na fase cristalográfica:
\rho = \frac{m}{V} = \frac{1{,}00\\ \mathrm{g}}{1{,}03\\ \mathrm{cm^3}} \approx 0{,}970\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 6

Em rede BCC (cúbica de corpo centrado) há Z=2 átomos por cela e vale
\rho = \frac{Z\,M_M}{N_A\,V_{\mathrm{cell}}} \quad\Longrightarrow\quad V_{\mathrm{cell}} = \frac{Z\,M_M}{\rho\,N_A}.
Substituindo Z=2, M_M=23{,}04,g/mol, \rho=0{,}970,g/cm³ e N_A=6{,}022\times10^{23},mol⁻¹, obtemos
V_{\mathrm{cell}} = \frac{2\times 23{,}04}{0{,}970\times 6{,}022\times10^{23}} \approx 7{,}89\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3}.

Passo 7

O comprimento de aresta a é a raiz cúbica de V_{\mathrm{cell}} e convertemos de cm para pm ( 1,cm =10^{10},pm):
a = \bigl(7{,}89\times10^{-23}\bigr)^{1/3}\\ \mathrm{cm} \approx 4{,}287\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} = 4{,}287\times10^{-8}\times10^{10}\\ \mathrm{pm} \approx 428\\ \mathrm{pm}.

Resposta

(a) O metal é o sódio, \mathrm{Na}.
(b) O comprimento da aresta da cela unitária é aproximadamente 428\\ \mathrm{pm}.

Exercícios relacionados