Uma amostra de 3.2 moles de um gás diatômico ideal (suponha sem vibração molecular) se expande adiabaticamente de um volume de 0.2 \mathrm{~m}^{3} para 0.79 \mathrm{~m}^{3}. Inicialmente, a pressão era de 1.9 atm.
Calcule:
(a) a pressão final, em atm.
\square
(b) A mudança na energia interna, em kJ.
\square
(c) O calor perdido pelo gás, em kJ.
\square

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=3{,}2 mol de um gás diatômico ideal (sem vibração, logo com f=5 graus de liberdade), que sofre expansão adiabática de um volume inicial V_i=0{,}2\\ \mathrm{m^3} para V_f=0{,}79\\ \mathrm{m^3}, partindo de uma pressão P_i=1{,}9\\ \mathrm{atm}.
Precisamos encontrar:
a) a pressão final P_f,
b) a variação da energia interna \Delta U,
c) o calor perdido pelo gás Q.
Para isso usamos:
– Para diatômico sem vibração \displaystyle C_v=\frac{5}{2}R, \displaystyle \gamma=\frac{C_p}{C_v}=\frac{7/2\,R}{5/2\,R}=\frac{7}{5}=1{,}4.
– Processo adiabático: \displaystyle P_iV_i^{\gamma}=P_fV_f^{\gamma} e Q=0.
– Equação de estado: \displaystyle P\,V=n\,R\,T.
– Variação de energia interna: \displaystyle \Delta U=n\,C_v\,(T_f-T_i).

Passo 2

Usamos a relação adiabática
P_i\,V_i^{\gamma}=P_f\,V_f^{\gamma}
para obter
P_f = P_i\Bigl(\frac{V_i}{V_f}\Bigr)^{\!\gamma} =1{,}9\\ \mathrm{atm}\times\Bigl(\frac{0{,}2}{0{,}79}\Bigr)^{1{,}4} \approx0{,}28\\ \mathrm{atm}.

Passo 3

Encontramos as temperaturas inicial e final pela lei dos gases ideais. Primeiro convertemos pressões para pascal ( 1\\ \mathrm{atm}=1{,}013\times10^5\\ \mathrm{Pa}):
T_i =\frac{P_i\,V_i}{n\,R} =\frac{(1{,}9\times1{,}013\times10^5)\times0{,}2}{3{,}2\times8{,}314} \approx1446\\ \mathrm{K},
T_f =\frac{P_f\,V_f}{n\,R} =\frac{(0{,}28\times1{,}013\times10^5)\times0{,}79}{3{,}2\times8{,}314} \approx833\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calculamos \Delta U=n\,C_v\,(T_f-T_i) com C_v=\tfrac{5}{2}R=20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}:
\Delta U =3{,}2\times20{,}785\times(833-1446) \approx3{,}2\times20{,}785\times(-613) \approx-4,07\times10^4\\ \mathrm{J} =-40{,}7\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Como o processo é adiabático, o calor trocado é
Q=0,
logo o gás não recebe nem perde calor além da energia interna.

Resposta

(a) P_f\approx0{,}28\\ \mathrm{atm}.
(b) \Delta U\approx-40{,}7\\ \mathrm{kJ}.
(c) Q=0\\ \mathrm{kJ}.

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