Uma amostra com 3 mols de uma gás ideal está inicialmente no estado 1 à pressão p_{1}=20 atm e volume V_{1}=1500 \mathrm{~cm}^{3}. Primeiro, o gás é levado ao estado 2 com pressão p_{2}=1,5 p_{1} e volume V_{2}= 2 V_{1}. Em seguida, é levado ao estado 3 com pressão p_{3}=2 p_{1} e volume V_{3}=0,5 V_{1}. Qual é a temperatura do gás no estado 1?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a temperatura do gás no estado 1.
Informações dadas (listei tudo explicitamente):
  • número de mols: n=3 mol.
  • pressão no estado 1: p_{1}=20 atm.
  • volume no estado 1: V_{1}=1500\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • também foram dados estados 2 e 3: p_{2}=1,5\,p_{1}, V_{2}=2\,V_{1} e p_{3}=2\,p_{1}, V_{3}=0,5\,V_{1}. (Esses dados não são necessários para achar T_{1}, mas estão no enunciado.)
  • unidades a observar: pressão em atm, volume em \mathrm{cm}^{3}. Para usar a constante dos gases ideais numa forma prática escolherei a forma com R em \mathrm{L\;atm/(mol\;K)}; portanto preciso converter o volume para litros.
Não começo a resolver ainda — só listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Método escolhido: lei dos gases ideais. A fórmula é
pV=nRT.
Vou explicar essa fórmula com calma:
  • \;p\; é a pressão do gás (unidade: atm se usarmos R em \mathrm{L\;atm/(mol\;K)}).
  • \;V\; é o volume ocupado pelo gás (unidade: litros, \mathrm{L}, se usarmos essa forma de R).
  • \;n\; é a quantidade de matéria em mols.
  • \;R\; é a constante universal dos gases; em unidades compatíveis com atm e L vale aproximadamente \;R=0,082057\\ \mathrm{L\;atm/(mol\;K)}.
  • \;T\; é a temperatura absoluta em kelvin (\mathrm{K}).
Por que essa fórmula serve aqui? Porque o enunciado trata de um gás ideal e nos dá p, V e n no estado 1; portanto podemos rearranjar para obter T:
T=\frac{pV}{nR}.
Pequeno exemplo didático (para fixar): para n=1 mol, p=1 atm e T=273\\ \mathrm{K} (Padrão), temos V=\dfrac{nRT}{p}=\dfrac{1\cdot 0,082057\cdot 273}{1}\approx 22,4\\ \mathrm{L}. Isso é o volume molar conhecido — só pra ver que a fórmula funciona numericamente.

Passo 3

Converter unidades para ficar tudo consistente com R:
  • sei que 1\\ \mathrm{L}=1000\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • portanto V_{1}=1500\\ \mathrm{cm}^{3}= \dfrac{1500}{1000}\\ \mathrm{L}=1,5\\ \mathrm{L}.
    Escrevendo em TeX:
V_{1}=1,5\\ \mathrm{L}.
Mantemos p_{1}=20 atm e n=3 mol, e usamos R=0,082057\\ \mathrm{L\;atm/(mol\;K)}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula \;T=\dfrac{pV}{nR}\; ao estado 1. Substituo os valores conhecidos:
T_{1}=\frac{p_{1}V_{1}}{nR}=\frac{20\\ \mathrm{atm}\times 1,5\\ \mathrm{L}}{3\\ \mathrm{mol}\times 0,082057\\ \mathrm{L\;atm/(mol\;K)}}.

Passo 5

Faço as contas passo a passo, mostrando cada operação:
  • primeiro o numerador:
p_{1}V_{1}=20\times 1,5=30\\ \mathrm{atm\;L}.
  • depois o denominador:
nR=3\times 0,082057=0,246171\\ \mathrm{L\;atm/(K)}.
(obs.: as unidades \mathrm{L\;atm} cancelam, sobrando \mathrm{K} no denominador, que dá Kelvin para T.)

Passo 6

Divido numerador pelo denominador para obter T_{1}:
T_{1}=\frac{30}{0,246171}\\ \mathrm{K}\approx 121,8\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma razoável (os dados não têm muitos algarismos significativos), podemos apresentar
T_{1}\approx 122\\ \mathrm{K}.
Um comentário encorajador: a temperatura obtida é em kelvin; 122 K é muito fria (abaixo de 0 °C), mas isso veio da pressão muito alta ( 20 atm) combinada com volume pequeno ( 1,5 L para 3 mols) — faz sentido físico pelo balanço pV.

Resposta

T_{1}=122\\ \mathrm{K}

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