Uma amostra com 3 mols de uma gás ideal está inicialmente no estado 1 à pressão p_{1}=20 atm e volume V_{1}=1500 \mathrm{~cm}^{3}. Primeiro, o gás é levado ao estado 2 com pressão p_{2}=1,5 p_{1} e volume V_{2}= 2 V_{1}. Em seguida, é levado ao estado 3 com pressão p_{3}=2 p_{1} e volume V_{3}=0,5 V_{1}. Qual é a temperatura do gás no estado 3?

Passo 1

O enunciado pede a temperatura do gás no estado 3. Dados fornecidos (vou listar tudo com cuidado):
\begin{aligned} &\text{Número de mols: } n=3,\\[4pt] &\text{Pressão no estado 1: } p_{1}=20\\ \text{atm},\\[4pt] &\text{Volume no estado 1: } V_{1}=1500\\ \mathrm{cm}^{3},\\[4pt] &\text{Pressão no estado 2: } p_{2}=1{,}5\,p_{1},\\[4pt] &\text{Volume no estado 2: } V_{2}=2\,V_{1},\\[4pt] &\text{Pressão no estado 3: } p_{3}=2\,p_{1},\\[4pt] &\text{Volume no estado 3: } V_{3}=0{,}5\,V_{1}. \end{aligned}úããã
Pergunta: qual é a temperatura T_{3} do gás no estado 3?]

Passo 2

Vamos usar a relação fundamental que liga pressão, volume e temperatura para um gás ideal. A lei dos gases ideais é dada por:
pV=nRT,
onde:
  • p é a pressão do gás (unidade compatível com R);
  • V é o volume do gás (unidade compatível com R);
  • n é o número de mols;
  • R é a constante universal dos gases;
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (\mathrm{K}).
Para encontrar T_{3} isolamos T na fórmula:
T=\frac{pV}{nR}.
Aqui vou aplicar essa fórmula ao estado 3 usando p_{3}, V_{3} e n.

Passo 3

Antes de calcular, preciso colocar todas as grandezas em unidades compatíveis com o valor de R que vou usar. É prático usar R na forma
R=0{,}08206\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
portanto devo trabalhar com pressão em atm e volume em litros.
Converto o volume V_{1} de \mathrm{cm}^{3} para litros. Lembre que 1\\ \mathrm{cm}^{3}=1\\ \mathrm{mL}=0{,}001\\ \mathrm{L}. Assim:
V_{1}=1500\\ \mathrm{cm}^{3}=1500\times 0{,}001\\ \mathrm{L}=1{,}5\\ \mathrm{L}.
Logo:
V_{1}=1{,}5\\ \mathrm{L}.

Passo 4

Calculo p_{3} e V_{3} a partir das relações dadas:
p_{3}=2\,p_{1}=2\times 20\\ \text{atm}=40\\ \text{atm},
e
V_{3}=0{,}5\,V_{1}=0{,}5\times 1{,}5\\ \mathrm{L}=0{,}75\\ \mathrm{L}.

Passo 5

Agora aplico a fórmula T=\dfrac{pV}{nR} ao estado 3. Substituindo p_{3}, V_{3}, n e R:
T_{3}=\frac{p_{3}V_{3}}{nR}=\frac{40\\ \text{atm}\times 0{,}75\\ \mathrm{L}}{3\times 0{,}08206\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}}.

Passo 6

Faço as contas passo a passo:
Produto no numerador:
p_{3}V_{3}=40\times 0{,}75=30\\ \text{atm}\cdot\mathrm{L}.
Produto no denominador:
nR=3\times 0{,}08206=0{,}24618\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Dividindo para obter T_{3}:
T_{3}=\frac{30}{0{,}24618}\\ \mathrm{K}\approx 121{,}8\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Arredondando de forma conveniente (duas ou três algarismos significativos) temos:
T_{3}\approx 122\\ \mathrm{K}.
Respira: o número ficou baixo porque a pressão e volume dados resultaram numa temperatura relativamente baixa com esses valores.

Resposta

T_{3}\approx 122\\ \mathrm{K}

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