Calcule as variações de entropia do sistema, de suas vizinhanças e a variação total de entropia, quando uma amostra de 14 g de nitrogênio gasoso, a 298 K e 1,00 bar, duplica seu volume
em uma expansão adiabática reversível.

Passo 1

O enunciado diz: uma amostra de 14\\ \text{g} de nitrogênio gasoso, à temperatura inicial T_{1}=298\\ \text{K} e pressão P_{1}=1{,}00\\ \text{bar}, sofre uma expansão reversível adiabática na qual o volume duplica ( V_{2}=2V_{1}). Pede-se: a variação de entropia do sistema, a variação de entropia das vizinhanças (entorno) e a variação total de entropia do universo (sistema + vizinhanças).
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} \text{massa do N}_2 &= 14\\ \text{g},\\\ T_{1} &= 298\\ \text{K},\\\ P_{1} &= 1{,}00\\ \text{bar},\\\ V_{2} &= 2V_{1},\\\ \text{o processo é: adiabático e reversível.} \end{aligned}éáí
Cálculos auxiliares que podemos usar (dados físicos do N _2):
M(\text{N}_2)\approx 28{,}02\\ \text{g}\,\text{mol}^{-1}\quad\Rightarrow\quad n=\frac{14}{28{,}02}\approx 0{,}500\\ \text{mol}.

Passo 2

Conceito-chave: entropia e calor reversível.
  • Definição diferencial de entropia: para um processo reversível a variação elementar de entropia é
\mathrm{d}S=\frac{\delta q_{\text{rev}}}{T},
onde \delta q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente e T é a temperatura em Kelvin.
  • Para uma variação finita e reversível temos
\Delta S=\int_{1}^{2}\frac{\delta q_{\text{rev}}}{T}.
Aplicação ao problema: o processo é adiabático e reversível. “Adiabático” significa que não há troca de calor entre sistema e vizinhança:
\delta q_{\text{rev}}=0\quad\text{ao longo do processo.}
Logo, integrando,
\Delta S_{\text{sistema}}=\int_{1}^{2}\frac{0}{T}=0.
Explicando de forma bem direta: se não entra nem sai calor reversível, a entropia do sistema não muda — o processo reversível adiabático é isentrópico.

Passo 3

Entropia das vizinhanças:
  • A vizinhança (entorno) troca calor com o sistema igual e oposto ao do sistema:
\delta q_{\text{viz}}=-\delta q_{\text{sist}}.
Como \delta q_{\text{sist}}=0, segue que \delta q_{\text{viz}}=0. Portanto
\Delta S_{\text{viz}}=\int\frac{\delta q_{\text{viz,rev}}}{T_{\text{viz}}}=0.
Comentário didático: muitas vezes é útil verificar com a expressão geral para gases ideais que também dá zero — isso mostra consistência. Para um gás ideal a variação de entropia entre dois estados quaisquer pode ser escrita como
\Delta S = nC_{V}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)+nR\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right),
onde n é o número de mols, C_{V} é a capacidade calorífica molar a volume constante e R a constante dos gases.
  • Para uma expansão adiabática reversível de gás ideal vale a relação
T_{2}T_{1}^{-1}=\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1},
onde \gamma=\dfrac{C_{P}}{C_{V}}. Substituindo no termo com \ln(T_{2}/T_{1}) e usando \gamma-1=R/C_{V} obtém-se algebraicamente cancelamento com o termo nR\ln(V_{2}/V_{1}), resultando em \Delta S=0. Vou mostrar numericamente com valores típicos:
  • Para nitrogênio (gás diatômico ideal ao redor de 298 K) usamos C_{V,m}=\tfrac{5}{2}R e, portanto, \gamma=\tfrac{7}{5}=1{,}4.
  • Calculando T_{2} com T_{2}=T_{1}\left(\dfrac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}:
T_{2}=298\\ \text{K}\times\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0{,}4}\approx 298\times 0{,}7579\approx 225{,}8\\ \text{K}.
  • Agora os termos da fórmula de entropia (com n\approx 0{,}500\\ \text{mol}, R=8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}, C_{V}=2{,}5R):
\begin{aligned} nC_{V}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) &=0{,}500\times 2{,}5R\times \ln\!\left(\frac{225{,}8}{298}\right)\\\ &=0{,}500\times 2{,}5\times 8{,}314\times \ln(0{,}7579)\\\ &\approx 10{,}39\times(-0{,}27726)\approx -2{,}879\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}, \end{aligned}
\begin{aligned} nR\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right) &=0{,}500\times 8{,}314\times \ln 2\\\ &\approx 4{,}157\times 0{,}69315\approx +2{,}879\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}. \end{aligned}
Somando os dois termos obtemos -2{,}879+2{,}879=0\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}, confirmando que \Delta S_{\text{sistema}}=0.

Passo 4

Variação total de entropia do universo (sistema + vizinhanças):
  • A variação total é a soma das duas variações:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{viz}}=0+0=0.
Interpretação física e motivação: um processo adiabático que é reversível não produz entropia; é um processo isentrópico idealizado. Na prática, irreversibilidades (atrito, dissipação) aumentariam a entropia total, mas no enunciado o processo é reversível, então o aumento de entropia é zero.

Resposta

\Delta S_{\text{sistema}}=0\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}
\Delta S_{\text{vizinhanças}}=0\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}ç
\Delta S_{\text{total}}=0\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}

Exercícios relacionados