Uma amostra de NOBr gasoso foi colocado em um frasco rígido onde se decompõe a 25^{\circ} \mathrm{C} de acordo com a seguinte reação: 2 \mathrm{NOBr}_{(\mathrm{g})} \leftrightarrow 2 \mathrm{NO}_{(\mathrm{g})}+\mathrm{Br}_{2(\mathrm{~g})}. No equilíbrio a pressão total e densidade da mistura gasosa são 0,0515 \mathrm{~atm} e 0,1861 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, respectivamente.
(a) Calcule o valor de \mathrm{K}_{\mathrm{p}} para a reação acima.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa:
  • Reação: 2\,\mathrm{NOBr}_{(g)} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{NO}_{(g)} + \mathrm{Br_2}_{(g)}.
  • Pressão total no equilíbrio: \;P_{\text{tot}} = 0,0515\\ \mathrm{atm}.
  • Densidade da mistura gasosa no equilíbrio: \;\rho = 0,1861\\ \mathrm{g/L}.
  • Temperatura: \;25^\circ\mathrm{C} = 298,15\\ \mathrm{K}.
O que é pedido:
  • (a) Calcular o valor de \;K_p para a reação acima.
Informações adicionais que vou usar (valores padrão de massas molares):
  • M_{\mathrm{N}} = 14,01\\ \mathrm{g/mol}.
  • M_{\mathrm{O}} = 16,00\\ \mathrm{g/mol}.
  • M_{\mathrm{Br}} = 79,90\\ \mathrm{g/mol}.
Com isso:
  • M_{\mathrm{NOBr}} = 14,01 + 16,00 + 79,90 = 109,91\\ \mathrm{g/mol}.
  • M_{\mathrm{NO}} = 14,01 + 16,00 = 30,01\\ \mathrm{g/mol}.
  • M_{\mathrm{Br_2}} = 2\times79,90 = 159,80\\ \mathrm{g/mol}.
Vou usar a lei dos gases ideais e relações estequiométricas para obter as frações molares no equilíbrio e, daí, K_p.

Passo 2

Primeiro conceito importante: relação entre densidade, massa molar média da mistura e a lei dos gases ideais.
A lei dos gases ideais escrita por molaridade diz que, para a mistura,
P_{\text{tot}} V = n_{\text{tot}} R T.
A densidade da mistura é \rho = \dfrac{m_{\text{tot}}}{V}. Como m_{\text{tot}} = n_{\text{tot}} M_{\text{média}}é, tem-se
\rho = \frac{n_{\text{tot}} M_{\text{média}}}{V}.é
Combinar essas duas relações elimina n_{\text{tot}} e V e dá a fórmula direta para a massa molar média da mistura:
M_{\text{média}} = \frac{\rho R T}{P_{\text{tot}}}.é
Explicando: M_{\text{média}}é (em \mathrm{g/mol}) é a média ponderada das massas molares dos componentes com pesos iguais às frações molares. Essa expressão vem de isolar n_{\text{tot}}/V da lei dos gases e multiplicar por \rho.

Passo 3

Calcular numericamente M_{\text{média}}é usando \;R = 0,082057\\ \mathrm{L\cdot atm \cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, \;T = 298,15\\ \mathrm{K}, \rho = 0,1861\\ \mathrm{g/L} e \;P_{\text{tot}} = 0,0515\\ \mathrm{atm}.
M_{\text{média}} = \frac{\rho R T}{P_{\text{tot}}} = \frac{0,1861 \times 0,082057 \times 298,15}{0,0515}.é
Calcule por partes:
0,082057 \times 298,15 \approx 24,4705,
0,1861 \times 24,4705 \approx 4,55093,
M_{\text{média}} \approx \frac{4,55093}{0,0515} \approx 88,36\\ \mathrm{g/mol}.é
Logo
M_{\text{média}} \approx 88,36\\ \mathrm{g/mol}.é

Passo 4

Agora passo a modelar a composição em equilíbrio por uma variável de extensão de reação. Escolho uma quantidade inicial conveniente de \mathrm{NOBr} para montar as relações estequiométricas (qualquer escolha consistente funciona porque as frações molares independem da escala). Vou começar com \;1{,}00\\ \mathrm{mol} de \mathrm{NOBr}.
Defina \xi como a extensão (em mol) da reação escrita na forma que consome 2 mols de \mathrm{NOBr} por vez. A variação em mols ao atingirmos o equilíbrio:
  • \mathrm{NOBr}: inicial 1{,}00, variação -2\xi, final 1 - 2\xi.
  • \mathrm{NO}: inicial 0, variação +2\xi, final 2\xi.
  • \mathrm{Br_2}: inicial 0, variação +\xi, final \xi.
O total de mols na mistura no equilíbrio é
n_{\text{tot}} = (1 - 2\xi) + 2\xi + \xi = 1 + \xi.
As frações molares (mole fractions) valem então:
x_{\mathrm{NOBr}} = \frac{1 - 2\xi}{1 + \xi},\qquad x_{\mathrm{NO}} = \frac{2\xi}{1 + \xi},\qquad x_{\mathrm{Br_2}} = \frac{\xi}{1 + \xi}.

Passo 5

Ligar M_{\text{média}}é (obtido no passo 3) com \xi. A massa molar média também é a média ponderada das massas molares pelos x_i:
M_{\text{média}} = x_{\mathrm{NOBr}} M_{\mathrm{NOBr}} + x_{\mathrm{NO}} M_{\mathrm{NO}} + x_{\mathrm{Br_2}} M_{\mathrm{Br_2}}.é
Substituindo as expressões de x_i:
M_{\text{média}} = \frac{(1-2\xi)M_{\mathrm{NOBr}} + 2\xi M_{\mathrm{NO}} + \xi M_{\mathrm{Br_2}}}{1+\xi}.é
Multiplicando ambos os lados por 1+\xi e rearranjando para isolar \xi:
(1-2\xi)M_{\mathrm{NOBr}} + 2\xi M_{\mathrm{NO}} + \xi M_{\mathrm{Br_2}} = (1+\xi) M_{\text{média}}.é
Colocando termos em \xi juntos:
M_{\mathrm{NOBr}} - M_{\text{média}} + \xi\bigl(-2M_{\mathrm{NOBr}} + 2M_{\mathrm{NO}} + M_{\mathrm{Br_2}} - M_{\text{média}}\bigr) = 0.éé
Logo
\xi = \frac{M_{\text{média}} - M_{\mathrm{NOBr}}}{-2M_{\mathrm{NOBr}} + 2M_{\mathrm{NO}} + M_{\mathrm{Br_2}} - M_{\text{média}}}.éé

Passo 6

Substituir os valores numéricos: M_{\text{média}} \approx 88,36\\ \mathrm{g/mol}é, M_{\mathrm{NOBr}} = 109,91, M_{\mathrm{NO}} = 30,01, M_{\mathrm{Br_2}} = 159,80.
Calcule o numerador e denominador:
\text{numerador} = M_{\text{média}} - M_{\mathrm{NOBr}} = 88,36 - 109,91 = -21,55.é
\text{denominador} = -2(109,91) + 2(30,01) + 159,80 - 88,36.
Calcule passo a passo:
-2(109,91) = -219,82,\quad 2(30,01) = 60,02.
\text{denominador} = -219,82 + 60,02 + 159,80 - 88,36 = -88,36.
Portanto
\xi = \frac{-21,55}{-88,36} \approx 0,2439.

Passo 7

Com \xi \approx 0,2439 cálculo as quantidades finais (partindo de 1{,}00\\ \mathrm{mol} inicial de \mathrm{NOBr}):
  • n_{\mathrm{NOBr}} = 1 - 2\xi \approx 1 - 2(0,2439) = 1 - 0,4878 = 0,5122\\ \mathrm{mol}.
  • n_{\mathrm{NO}} = 2\xi \approx 0,4878\\ \mathrm{mol}.
  • n_{\mathrm{Br_2}} = \xi \approx 0,2439\\ \mathrm{mol}.
  • n_{\text{tot}} = 1 + \xi \approx 1,2439\\ \mathrm{mol}.
Frações molares:
x_{\mathrm{NOBr}} = \frac{0,5122}{1,2439} \approx 0,4120,
x_{\mathrm{NO}} = \frac{0,4878}{1,2439} \approx 0,3922,
x_{\mathrm{Br_2}} = \frac{0,2439}{1,2439} \approx 0,1958.
(Verificação rápida: 0,4120+0,3922+0,1958 \approx 1,000.)

Passo 8

Agora a definição de K_p para a reação:
2\,\mathrm{NOBr} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{NO} + \mathrm{Br_2}
é
K_p = \frac{(P_{\mathrm{NO}})^2 (P_{\mathrm{Br_2}})}{(P_{\mathrm{NOBr}})^2}.
Como P_i = x_i P_{\text{tot}}, podemos escrever
K_p = \frac{(x_{\mathrm{NO}} P_{\text{tot}})^2 (x_{\mathrm{Br_2}} P_{\text{tot}})}{(x_{\mathrm{NOBr}} P_{\text{tot}})^2} = \frac{x_{\mathrm{NO}}^2 x_{\mathrm{Br_2}}}{x_{\mathrm{NOBr}}^2}\;P_{\text{tot}}^{\,\Delta n},
onde \Delta n = (2+1) - 2 = 1. Portanto
K_p = \frac{x_{\mathrm{NO}}^2 x_{\mathrm{Br_2}}}{x_{\mathrm{NOBr}}^2}\;P_{\text{tot}}.
Substituindo os valores numéricos:
\frac{x_{\mathrm{NO}}^2 x_{\mathrm{Br_2}}}{x_{\mathrm{NOBr}}^2} = \frac{(0,3922)^2 (0,1958)}{(0,4120)^2}.
Calcule:
(0,3922)^2 \approx 0,1538,\qquad 0,1538\times 0,1958 \approx 0,03009,
(0,4120)^2 \approx 0,1697,
\frac{0,03009}{0,1697} \approx 0,1773.
Multiplicando por P_{\text{tot}} = 0,0515\\ \mathrm{atm}:
K_p \approx 0,1773 \times 0,0515 \approx 0,00913\\ \mathrm{atm}.

Passo 9

Interpretação curta: o valor obtido \;K_p \approx 9{,}13\times 10^{-3}\\ \mathrm{atm} indica que, nas condições dadas, o equilíbrio favorece os reagentes (valor de K_p pequeno), o que faz sentido porque a pressão total é baixa e a decomposição não foi completa.

Resposta

K_p \approx 0,00913\\ \mathrm{atm}

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