Uma amostra de ar, que ocupa 0,2 m^{3} com pressão manométrica total de 4 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}, se expande isotermicamente até atingir a pressão atmosférica ( 1,5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} ) e é então resfriada, a pressão constante, até que retorne ao seu volume inicial.
calcule o trabalho pelo processo isotérmico

Passo 1

O enunciado chama um processo isotérmico de expansão de um gás ideal, seguido de resfriamento isobárico até o volume inicial. Precisamos calcular o trabalho realizado durante a expansão isotérmica. Para isso vamos usar a fórmula do trabalho em processo isotérmico de gás ideal:
W = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV = nRT\ln\!\bigl(\tfrac{V_2}{V_1}\bigr)
que, usando p_1V_1 = nRT, equivale a
W = p_1V_1\ln\!\bigl(\tfrac{V_2}{V_1}\bigr).

Passo 2

Primeiro vamos determinar a pressão absoluta inicial p_1. A pressão manométrica dada é 4\times10^{5}\,\mathrm{Pa} e a pressão atmosférica é 1{,}5\times10^{5}\,\mathrm{Pa}. Logo,
p_1 = p_{\text{man}} + p_{\text{atm}} = 4\times10^{5} + 1{,}5\times10^{5} = 5{,}5\times10^{5}\,\mathrm{Pa}.

Passo 3

Na expansão isotérmica até a pressão final p_2 = p_{\text{atm}} = 1{,}5\times10^{5}\,\mathrm{Pa}, vale a relação
p_1V_1 = p_2V_2 \quad\Longrightarrow\quad V_2 = \frac{p_1V_1}{p_2}.
Como V_1 = 0{,}2\,\mathrm{m^3}, temos
V_2 = \frac{5{,}5\times10^{5}\times0{,}2}{1{,}5\times10^{5}} = 0{,}7333\ldots\,\mathrm{m^3}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do trabalho isotérmico:
W = p_1V_1\ln\!\bigl(\tfrac{V_2}{V_1}\bigr).
Substituindo os valores:
p_1V_1 = 5{,}5\times10^{5}\times0{,}2 = 1{,}1\times10^{5}\,\mathrm{J},
\frac{V_2}{V_1} = \frac{0{,}7333}{0{,}2} = 3{,}6667,
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W = 1{,}1\times10^{5}\ln(3{,}6667).

Passo 5

Calculando numericamente:
\ln(3{,}6667)\approx1{,}2993 \quad\Longrightarrow\quad W \approx 1{,}1\times10^{5}\times1{,}2993 \approx 1{,}43\times10^{5}\,\mathrm{J}.

Resposta

O trabalho realizado no processo isotérmico é aproximadamente
W = 1{,}43\times10^{5}\,\mathrm{J}.

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