Dada a função f(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x)= a+b \cdot \cos (c x+d), sendo a, b, c e d \in \mathbb{R}, faça o gráfico de f(x) e identifique o período e a imagem, nas seguintes situações:
d) f(x)=-2 \cos x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x) = -2\cos x
e que a gente identifique o período e a imagem dessa função. O conteúdo é de funções trigonométricas do tipo
f(x)=a + b\cos(cx+d),
onde usamos amplitude, período e deslocamentos para montar o gráfico.

Passo 2

Para comparar com a forma geral f(x)=a + b\cos(cx+d), notamos que aqui
a = 0,\quad b = -2,\quad c = 1,\quad d = 0.
A amplitude é \lvert b\rvert = 2, e o sinal negativo indica que a “campainha” da cossenoide está invertida (começa no mínimo).

Passo 3

O período de uma função \cos(cx) é dado por
T = \frac{2\pi}{\lvert c\rvert}.
Como c=1, temos
T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi.

Passo 4

A imagem de f(x)=a + b\cos(cx+d) é
[a - \lvert b\rvert,\;a + \lvert b\rvert].
Aqui a=0 e \lvert b\rvert=2, então
\text{Im}(f) = [-2,\,2].

Passo 5

Pontos-chave para esboçar o gráfico em um período [0,2\pi]:
– em x=0: \cos0=1, logo f(0)=-2.
– em x=\tfrac{\pi}{2}: \cos\tfrac{\pi}{2}=0, logo f(\tfrac{\pi}{2})=0.
– em x=\pi: \cos\pi=-1, logo f(\pi)=2.
– em x=\tfrac{3\pi}{2}: \cos\tfrac{3\pi}{2}=0, logo f(\tfrac{3\pi}{2})=0.
– em x=2\pi: \cos2\pi=1, logo f(2\pi)=-2.
Ligando esses pontos com uma curva suave, temos uma onda de cosseno invertida, amplitude 2 e período 2\pi.

Resposta

Período: 2\pi
Imagem: [-2,\,2]

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