6.4
Uma amostra de óleo mineral é colocada em um campo magnético externo H. Cada próton tem spin \frac{1}{2} e um momento magnético \mu; assim, pode ter duas energias possíveis \epsilon=\mp \mu H, correspondentes às duas orientaçōes possíveis de seu spin. Um campo de radiofrequência aplicado pode induzir transiçōes entre esses dois níveis de energia se sua frequência \nu satisfizer a condiçāo de Bohr h \nu=2 \mu H. A potência absorvida a partir desse campo de radiaçāo é entāo proporcional à diferença no número de núcleos nesses dois níveis de energia. Suponha que os prótons do óleo mineral estejam em equilíbrio térmico a uma temperatura T tāo alta que \mu H \ll k T. Como a potência absorvida depende da temperatura T da amostra?

Passo 1

O enunciado trata de prótons com spin \tfrac12 num campo magnético H, gerando dois níveis de energia \epsilon=\pm\mu H. Aplica-se um campo de radiofrequência que absorve potência proporcional à diferença de população entre esses níveis. A hipótese é que a temperatura T seja alta, de modo que \mu H\ll kT. Vamos usar a distribuição de Boltzmann para calcular essa diferença e, em seguida, aproximar para \mu H\ll kT.

Passo 2

Escrevemos a função partição Z para os dois níveis:
Z = \sum_{i} e^{-\epsilon_i/(kT)} = e^{+\mu H/(kT)} + e^{-\mu H/(kT)} = 2\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{\mu H}{kT}\bigr).

Passo 3

As populações de cada nível são
N_{-} = N\;\frac{e^{+\mu H/(kT)}}{Z}, \qquad N_{+} = N\;\frac{e^{-\mu H/(kT)}}{Z},
sendo N o número total de prótons.

Passo 4

A diferença de populações vale
\Delta N = N_{-} - N_{+} = N\,\frac{e^{\mu H/(kT)} - e^{-\mu H/(kT)}}{2\operatorname{cosh}(\mu H/(kT))} = N\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{\mu H}{kT}\bigr).

Passo 5

Para \mu H\ll kT usamos \operatorname{tanh} x\approx x quando x\ll1. Assim
\Delta N \approx N\,\frac{\mu H}{kT}.
Como a potência absorvida P é proporcional a \Delta N, segue-se
P \propto \Delta N \approx N\,\frac{\mu H}{kT}\propto \frac1T.

Resposta

A potência absorvida varia inversamente com a temperatura, isto é, P\propto1/T.

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