Calcule o limite \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{8}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{\tfrac1{x^3}-\tfrac18}{x-2}.
Perceba que ao substituir x=2 temos forma \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração de diferença de cubos e simplificar a expressão.

Passo 2

Colocamos o numerador sobre um denominador comum:
\frac{1}{x^3}-\frac{1}{8} =\frac{8 - x^3}{8\,x^3}

Passo 3

Usamos a fatoração de diferença de cubos, que diz
a^3 - b^3 = (a - b)\,(a^2 + a\,b + b^2)
Aqui 8=2^3 e x^3=x^3, logo
8 - x^3 = (2 - x)\,(4 + 2x + x^2)

Passo 4

Substituímos na expressão do limite e cancelamos (2-x)/(x-2)=-1:
\frac{\frac{1}{x^3}-\frac{1}{8}}{x-2} =\frac{8 - x^3}{8\,x^3\,(x-2)} =\frac{(2 - x)\,(4 + 2x + x^2)}{8\,x^3\,(x-2)} =-\frac{4 + 2x + x^2}{8\,x^3}

Passo 5

Agora temos uma função contínua em x=2, basta substituir:
\lim_{x\to2} -\frac{4 + 2x + x^2}{8\,x^3} =-\frac{4 + 2\cdot2 + 2^2}{8\cdot2^3} =-\frac{12}{64} =-\frac{3}{16}

Resposta

-\displaystyle \frac{3}{16}

Exercícios relacionados