6.5

Considere um gás ideal na temperatura absoluta T em um campo gravitacional uniforme descrito pela aceleraçāo g. Escrevendo a condiçāo de equilíbrio hidrostático para uma fatia do gás localizada entre as alturas z e z+d z, derive uma expressão para n(z), o número de moléculas por \mathrm{cm}^{3} na altura z. Compare isso com a Eq. (6.3.20), que foi derivada a partir da mecânica estatística.

Passo 1

O enunciado pede a distribuição vertical do número de moléculas por c m^{3}, n(z), para um gás ideal à temperatura absoluta T num campo gravitacional uniforme g. O conteúdo é equilíbrio hidrostático e a equação de estado do gás ideal.

Passo 2

Em equilíbrio hidrostático, a variação de pressão numa fatia do gás entre z e z+dz satisfaz
\frac{dP}{dz}=-\rho\,g,
onde \rho é a massa volumétrica do gás. Como cada molécula tem massa m, temos \rho=m\,n.

Passo 3

A equação de estado do gás ideal relaciona pressão, densidade numérica e temperatura:
P = n\,k\,T,
com k constante de Boltzmann.

Passo 4

Diferenciando P=n\,k\,T em relação a z e usando \rho=m\,n na equação hidrostática,
\frac{dP}{dz}=k\,T\,\frac{dn}{dz}=-m\,n\,g.
Logo
\frac{dn}{dz}=-\frac{m\,g}{k\,T}\,n.

Passo 5

Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis. Integramos de 0 até z:
\int_{n(0)}^{n(z)}\frac{dn'}{n'}=-\frac{m\,g}{k\,T}\int_{0}^{z}dz' \quad\Longrightarrow\quad \ln\frac{n(z)}{n(0)}=-\frac{m\,g\,z}{k\,T}.
Portanto
n(z)=n(0)\,\exp\Bigl(-\frac{m\,g\,z}{k\,T}\Bigr).

Passo 6

A Eq. ( 6.3. 20) obtida por mecânica estatística dá exatamente
n(z)=n(0)\,\exp\Bigl(-\frac{m\,g\,z}{k\,T}\Bigr),
mostrando que o resultado hidrostático coincide com o fator de Boltzmann.

Resposta

n(z)=n(0)\,\exp\Bigl(-\frac{m\,g\,z}{k\,T}\Bigr).

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