6.5
Considere um gás ideal na temperatura absoluta
em um campo gravitacional uniforme descrito pela aceleraçāo
. Escrevendo a condiçāo de equilíbrio hidrostático para uma fatia do gás localizada entre as alturas
e
, derive uma expressão para
, o número de moléculas por
na altura
. Compare isso com a Eq. (6.3.20), que foi derivada a partir da mecânica estatística.
Passo 1
O enunciado pede a distribuição vertical do número de moléculas por c
,
, para um gás ideal à temperatura absoluta
num campo gravitacional uniforme
. O conteúdo é equilíbrio hidrostático e a equação de estado do gás ideal.
Passo 2
Em equilíbrio hidrostático, a variação de pressão numa fatia do gás entre
e
satisfaz
onde
é a massa volumétrica do gás. Como cada molécula tem massa
, temos
.
Passo 3
A equação de estado do gás ideal relaciona pressão, densidade numérica e temperatura:
com
constante de Boltzmann.
Passo 4
Diferenciando
em relação a
e usando
na equação hidrostática,
Logo
Passo 5
Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis. Integramos de
até
:
Portanto
Passo 6
A Eq. (
.
) obtida por mecânica estatística dá exatamente
mostrando que o resultado hidrostático coincide com o fator de Boltzmann.