Calcule o limite \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}+x^{2}-6 x}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to2}\frac{x^3 + x^2 - 6x}{x^2 - 4}.
Percebemos que ao substituir x=2 obtemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e simplificar a expressão.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador:
x^3 + x^2 - 6x = x\,(x^2 + x - 6) = x\,(x+3)\,(x-2),
x^2 - 4 = (x-2)\,(x+2).
Logo, a função fica
\frac{x^3 + x^2 - 6x}{x^2 - 4} = \frac{x\,(x+3)\,(x-2)}{(x-2)\,(x+2)}.

Passo 3

Como (x-2) aparece no numerador e no denominador, podemos cancelar esse fator (para x\neq2) e obter
\frac{x\,(x+3)}{x+2}.
Agora basta avaliar em x=2:
\frac{2\,(2+3)}{2+2} =\frac{2\cdot5}{4} =\frac{10}{4} =\frac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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