Uma amostra de quatro valores da variável aleatória X, com distribuição normal, apresentou os valores 4, 8, 4 e 4.
a) Determine as estimativas da média e do desvio padrão de X .
b) Determine o intervalo de 95 % de confiança para a média da população.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=4 retirada de uma população com distribuição normal, cujos valores são 4, 8, 4 e 4. Pede-se (a) estimar a média e o desvio padrão da população e (b) construir o intervalo de confiança de 95% para a média usando a distribuição t, já que a variância é desconhecida.

Passo 2

Calcular a média amostral bar x pela fórmula
bar x = 1nsumi=1^nxi = 4 + 8 + 4 + 44 = 5

Passo 3

Calcular o desvio padrão amostral não tendencioso s a partir da variância amostral
s^2 = 1n-1sumi=1^n(xi - bar x)^2 = (4-5)^2 + (8-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^23 = 1 + 9 + 1 + 13 = 4,
s = raiz4 = 2

Passo 4

Para o intervalo de confiança de 95%, usamos a estatística
bar X - muS/raiznsim tn-1
com n-1=3 graus de liberdade. Como alpha=0,05, temos alpha/2=0,025 e o quantil crítico
t0,975;3approx 3,182
A margem de erro é
E = t0,975;3,sraizn = 3,182cdot2raiz4 = 3,182cdot1 = 3,182
Logo o intervalo de confiança fica
bar x pm E = 5 pm 3,182 Longrightarrow (5 - 3,182;;5 + 3,182) = (1,818;;8,182)

Resposta

a) bar x = 5, s = 2.
b) Intervalo de confiança de 95% para mu: (1,818;;8,182).

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