Uma amostra representativa de uma população de partículas possui distribuição cumulativa baseada na área superficial
que pode ser aproximada pela seguinte função:
Converta essa distribuição
e obtenha as expressões para: uma distribuição cumulativa baseada em volume
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma distribuição cumulativa baseada na área superficial das partículas, representada por
, e queremos converter essa distribuição para uma baseada no volume, chamada
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com distribuições de tamanho de partículas, especificamente como relacionar a distribuição baseada na área superficial com a distribuição baseada no volume.
O que precisamos para resolver: Precisamos entender como a área superficial e o volume de partículas estão relacionados ao diâmetro
e como isso afeta as distribuições cumulativas
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a área superficial e o volume de uma esfera se relacionam com o diâmetro
.
- Área superficial (
) de uma esfera: - Volume (
) de uma esfera:
Essas fórmulas mostram que a área superficial está proporcional ao quadrado do diâmetro, enquanto o volume está proporcional ao cubo do diâmetro.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função de distribuição cumulativa baseada na área superficial
que foi dada:
Essa função nos diz a fração acumulada de partículas com área superficial até um determinado diâmetro
.
Passo 4
Queremos encontrar a distribuição cumulativa baseada no volume
. Sabemos que o volume está relacionado ao cubo do diâmetro. Então, para manter a consistência, vamos relacionar
de forma similar a
, mas usando a relação do volume.
Isso significa que:
E, naturalmente,
para
, já que estamos considerando a distribuição cumulativa até um certo limite.
Passo 5
Portanto, a distribuição cumulativa baseada no volume
fica assim:
Isso completa a conversão da distribuição baseada na área superficial para a baseada no volume.
Resposta
A distribuição cumulativa baseada em volume
é dada por: