Uma amostra representativa de uma população de partículas possui distribuição cumulativa baseada na área superficial FS que pode ser aproximada pela seguinte função:
cc FS=(D45)^2, & D <= 45 mu m FS=1, & D>45 mu m
Converta essa distribuição FS e obtenha as expressões para: uma distribuição cumulativa baseada em volume FV.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma distribuição cumulativa baseada na área superficial das partículas, representada por , e queremos converter essa distribuição para uma baseada no volume, chamada .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com distribuições de tamanho de partículas, especificamente como relacionar a distribuição baseada na área superficial com a distribuição baseada no volume.
O que precisamos para resolver: Precisamos entender como a área superficial e o volume de partículas estão relacionados ao diâmetro e como isso afeta as distribuições cumulativas e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a área superficial e o volume de uma esfera se relacionam com o diâmetro .
  • Área superficial ( ) de uma esfera:
  • Volume ( ) de uma esfera:
Essas fórmulas mostram que a área superficial está proporcional ao quadrado do diâmetro, enquanto o volume está proporcional ao cubo do diâmetro.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função de distribuição cumulativa baseada na área superficial FS = (D45)^2, & D <= 45 mu m 1, & D > 45 mu m que foi dada:
Essa função nos diz a fração acumulada de partículas com área superficial até um determinado diâmetro .

Passo 4

Queremos encontrar a distribuição cumulativa baseada no volume FV = (D45)^3 para D <= 45 mu m . Sabemos que o volume está relacionado ao cubo do diâmetro. Então, para manter a consistência, vamos relacionar de forma similar a , mas usando a relação do volume.
Isso significa que:
E, naturalmente, para , já que estamos considerando a distribuição cumulativa até um certo limite.

Passo 5

Portanto, a distribuição cumulativa baseada no volume FV = (D45)^3, & D <= 45 mu m 1, & D > 45 mu m fica assim:
Isso completa a conversão da distribuição baseada na área superficial para a baseada no volume.

Resposta

A distribuição cumulativa baseada em volume FV = (D45)^3, & D <= 45 mu m 1, & D > 45 mu m é dada por:

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