Calcular a esfericidade de: Uma ervilha (supor que a ervilha é um esferóide oblato com eixos iguais a 5 mm e 1 mm ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a esfericidade de uma ervilha, que estamos considerando como um esferóide oblato. Isso significa que a ervilha tem dois eixos iguais de 5 mm e um eixo menor de 1 mm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria, principalmente as fórmulas de volume e área de um esferóide. Vamos precisar das fórmulas de volume e área para esferóides oblato e de uma esfera para comparar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do esferóide oblato. A fórmula para o volume V = 43 pi a^2 c de um esferóide oblato é:
V = 43 pi (5)^2 (1) = 43 pi times 25 times 1 = 1003 pi , mm^3
onde:
  • é o raio equatorial (5 mm),
  • é o raio polar (1 mm).
Então, substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o raio da esfera que tem o mesmo volume que a ervilha. A fórmula do volume da esfera é:
Vesfera = 43 pi r^3
Igualando os volumes:
43 pi r^3 = 1003 pi
Podemos simplificar r^3 = 1004 = 25 e r = raiz[3]25 approx 2,924 , mm :
Então, tirando a raiz cúbica:

Passo 4

Com o raio da esfera conhecido, vamos calcular a área da esfera usando a fórmula:
Aesfera = 4 pi r^2
Substituindo Aesfera = 4 pi (2,924)^2 approx 4 pi times 8,55 approx 107,4 , mm^2 :

Passo 5

Agora, vamos calcular a área do esferóide oblato. A fórmula para a área A = 2 pi a^2 (1 + ca e sin^-1 e ) de um esferóide oblato é um pouco mais complicada:
e = raiz1 - (ca)^2 = raiz1 - (15)^2 = raiz1 - 0,04 = raiz0,96 approx 0,98
onde A = 2 pi (5)^2 (1 + 15 times 0,98 sin^-1(0,98) ) é a excentricidade, dada por:
A = 2 pi times 25 (1 + 14,9 times 1,369 ) (aproximando sin^-1(0,98) approx 1,369 , rad)
Substituindo A = 50 pi (1 + 0,204 ) = 50 pi times 1,204 approx 50 times 3,1416 times 1,204 approx 189,6 , mm^2 na fórmula da área:
Calculando passo a passo:

Passo 6

Agora, vamos calcular a esfericidade Phi = AesferaAesferóide = 107,4189,6 approx 0,567 , que é a razão entre a área da esfera com o mesmo volume e a área do esferóide oblato:
ó

Resposta

A esfericidade da ervilha é aproximadamente 0,567.

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