Calcular a razão entre os diâmetros da esfera de volume equivalente e de área superficial equivalente: (a) para um cubo; (b) para um cilindro equilátero; © para cum paralelepípedo com dimensões proporcionais a 3 times 2 times 1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a razão entre os diâmetros de duas esferas:
  1. Esfera de volume equivalente: uma esfera que tem o mesmo volume do sólido dado.
  2. Esfera de área superficial equivalente: uma esfera que tem a mesma área superficial do sólido dado.
Vamos fazer isso para três sólidos diferentes:
(a) um cubo;
(b) um cilindro equilátero;
© um paralelepípedo com dimensões na proporção 3 times 2 times 1.
Para resolver, vamos precisar das fórmulas de volume e área superficial tanto para os sólidos quanto para as esferas. Também vamos usar a relação entre o diâmetro da esfera e seu volume/área superficial.

Passo 2

Item (a): Cubo
Vamos começar com o cubo.
  1. Volume do cubo: Se o lado do cubo é a, então o volume Vcubo = a^3.
  2. Área superficial do cubo: A área de cada face é a^2 e como são 6 faces, a área total Acubo = 6a^2.
Agora, vamos encontrar os diâmetros das esferas equivalentes.
  • Esfera de volume equivalente:
    • Volume da esfera: Vesfera = 43pi r^3, onde r é o raio.
    • Igualando ao volume do cubo: 43pi r^3 = a^3.
    • Resolvendo para r: r = (3a^34pi)^1/3.
    • Diâmetro da esfera: dV = 2r = 2(3a^34pi)^1/3.
  • Esfera de área superficial equivalente:
    • Área da esfera: Aesfera = 4pi r^2.
    • Igualando à área do cubo: 4pi r^2 = 6a^2.
    • Resolvendo para r: r = raiz6a^24pi = raiz3a^22pi = araiz32pi.
    • Diâmetro da esfera: dA = 2r = 2araiz32pi.
Finalmente, a razão entre os diâmetros:
dVdA = 2(3a^34pi)^1/32araiz32pi = (3a^34pi)^1/3araiz32pi
Simplificando:
dVdA = (34pi)^1/3 a a ( 32pi )^1/2 = (34pi)^1/3 div ( 32pi )^1/2

Passo 3

Item (b): Cilindro Equilátero
Agora, vamos para o cilindro equilátero. Um cilindro é chamado de equilátero quando a altura é igual ao diâmetro da base.
  1. Dimensões do cilindro: Se o raio da base é r, então:
    • Altura h = 2r (porque é equilátero).
  2. Volume do cilindro: Vcilindro = pi r^2 h = pi r^2 (2r) = 2pi r^3.
  3. Área superficial do cilindro:
    • Área das duas bases: 2pi r^2.
    • Área lateral: 2pi r h = 2pi r (2r) = 4pi r^2.
    • Total: Acilindro = 2pi r^2 + 4pi r^2 = 6pi r^2.
Agora, vamos encontrar os diâmetros das esferas equivalentes.
  • Esfera de volume equivalente:
    • Igualando os volumes: 43pi R^3 = 2pi r^3.
    • Resolvendo para R: R = (3 times 2pi r^34pi)^1/3 = (64)^1/3 r = (32)^1/3 r.
    • Diâmetro: dV = 2R = 2(32)^1/3 r.
  • Esfera de área superficial equivalente:
    • Igualando as áreas: 4pi R^2 = 6pi r^2.
    • Resolvendo para R: R = raiz6pi r^24pi = raiz64 r = raiz32 r.
    • Diâmetro: dA = 2R = 2raiz32 r.
Razão entre os diâmetros:
dVdA = 2(32)^1/3 r2raiz32 r = (32)^1/3raiz32

Passo 4

Item ©: Paralelepípedo com Dimensões Proporcionais a 3 times 2 times 1
Finalmente, vamos para o paralelepípedo com dimensões na proporç��o 3 times 2 times 1. Vamos considerar que as dimensões são 3a, 2a e a.
  1. Volume do paralelepípedo: V = 3a times 2a times a = 6a^3.
  2. Área superficial do paralelepípedo:
    • Áreas das faces:
      • 3a times 2a: 2 faces, área total 2 times 6a^2 = 12a^2.
      • 3a times a: 2 faces, área total 2 times 3a^2 = 6a^2.
      • 2a times a: 2 faces, área total 2 times 2a^2 = 4a^2.
    • Total: A = 12a^2 + 6a^2 + 4a^2 = 22a^2.
Agora, as esferas equivalentes:
  • Esfera de volume equivalente:
    • Igualando volumes: 43pi R^3 = 6a^3.
    • Resolvendo para R: R = (18a^34pi)^1/3 = (9a^32pi)^1/3.
    • Diâmetro: dV = 2R = 2(92pi)^1/3 a.
  • Esfera de área superficial equivalente:
    • Igualando áreas: 4pi R^2 = 22a^2.
    • Resolvendo para R: R = raiz22a^24pi = raiz112pi a.
    • Diâmetro: dA = 2R = 2raiz112pi a.
Razão entre os diâmetros:
dVdA = 2(92pi)^1/3 a2raiz112pi a = (92pi)^1/3raiz112pi

Resposta

A razão entre os diâmetros da esfera de volume equivalente e da esfera de área superficial equivalente para cada sólido é:
(a) Para um cubo:
dVdA = (34pi)^1/3 div ( 32pi )^1/2
(b) Para um cilindro equilátero:
dVdA = (32)^1/3raiz32
© Para um paralelepípedo com dimensões proporcionais a 3 times 2 times 1:
dVdA = (92pi)^1/3raiz112pi
Essas expressões representam a razão entre os diâmetros das esferas de volume e área superficial equivalentes para cada caso específico.

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