Calcular a razão entre os diâmetros da esfera de volume equivalente e de área superficial equivalente: (a) para um cubo; (b) para um cilindro equilátero; © para cum paralelepípedo com dimensões proporcionais a
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a razão entre os diâmetros de duas esferas:
- Esfera de volume equivalente: uma esfera que tem o mesmo volume do sólido dado.
- Esfera de área superficial equivalente: uma esfera que tem a mesma área superficial do sólido dado.
Vamos fazer isso para três sólidos diferentes:
(a) um cubo;
(b) um cilindro equilátero;
© um paralelepípedo com dimensões na proporção .
(a) um cubo;
(b) um cilindro equilátero;
© um paralelepípedo com dimensões na proporção
Para resolver, vamos precisar das fórmulas de volume e área superficial tanto para os sólidos quanto para as esferas. Também vamos usar a relação entre o diâmetro da esfera e seu volume/área superficial.
Passo 2
Item (a): Cubo
Vamos começar com o cubo.
- Volume do cubo: Se o lado do cubo é
, então o volume . - Área superficial do cubo: A área de cada face é
e como são 6 faces, a área total .
Agora, vamos encontrar os diâmetros das esferas equivalentes.
-
Esfera de volume equivalente:
- Volume da esfera:
, onde é o raio. - Igualando ao volume do cubo:
. - Resolvendo para
: . - Diâmetro da esfera:
.
- Volume da esfera:
-
Esfera de área superficial equivalente:
- Área da esfera:
. - Igualando à área do cubo:
. - Resolvendo para
: . - Diâmetro da esfera:
.
- Área da esfera:
Finalmente, a razão entre os diâmetros:
Simplificando:
Passo 3
Item (b): Cilindro Equilátero
Agora, vamos para o cilindro equilátero. Um cilindro é chamado de equilátero quando a altura é igual ao diâmetro da base.
- Dimensões do cilindro: Se o raio da base é
, então: - Altura
(porque é equilátero).
- Altura
- Volume do cilindro:
. - Área superficial do cilindro:
- Área das duas bases:
. - Área lateral:
. - Total:
.
- Área das duas bases:
Agora, vamos encontrar os diâmetros das esferas equivalentes.
-
Esfera de volume equivalente:
- Igualando os volumes:
. - Resolvendo para
: . - Diâmetro:
.
- Igualando os volumes:
-
Esfera de área superficial equivalente:
- Igualando as áreas:
. - Resolvendo para
: . - Diâmetro:
.
- Igualando as áreas:
Razão entre os diâmetros:
Passo 4
Item ©: Paralelepípedo com Dimensões Proporcionais a
Finalmente, vamos para o paralelepípedo com dimensões na proporç��o
. Vamos considerar que as dimensões são
,
e
.
- Volume do paralelepípedo:
. - Área superficial do paralelepípedo:
- Áreas das faces:
-
: 2 faces, área total . -
: 2 faces, área total . -
: 2 faces, área total .
-
- Total:
.
- Áreas das faces:
Agora, as esferas equivalentes:
-
Esfera de volume equivalente:
- Igualando volumes:
. - Resolvendo para
: . - Diâmetro:
.
- Igualando volumes:
-
Esfera de área superficial equivalente:
- Igualando áreas:
. - Resolvendo para
: . - Diâmetro:
.
- Igualando áreas:
Razão entre os diâmetros:
Resposta
A razão entre os diâmetros da esfera de volume equivalente e da esfera de área superficial equivalente para cada sólido é:
(a) Para um cubo:
(b) Para um cilindro equilátero:
© Para um paralelepípedo com dimensões proporcionais a
:
Essas expressões representam a razão entre os diâmetros das esferas de volume e área superficial equivalentes para cada caso específico.