Calcular a esfericidade de: Um cone com diâmetro da base igual à altura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a esfericidade de um cone onde o diâmetro da base é igual à altura. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Espacial, especificamente sobre volumes e áreas de superfícies. Vamos precisar lembrar as fórmulas para o volume e a área de superfície de um cone, além da definição de esfericidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é esfericidade. A esfericidade (
) é uma medida que compara a forma de um objeto com a de uma esfera. Quanto mais próximo
de 1, mais esférico é o objeto. A fórmula para calcular a esfericidade é:
Onde:
-
é o volume do objeto, -
é a área de superfície do objeto.
Passo 3
Vamos começar calculando o volume (
) do cone. A fórmula do volume de um cone é:
Nesse problema, nos dizem que o diâmetro da base é igual à altura (
). Sabendo que o raio (
) é a metade do diâmetro, temos:
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área de superfície (
) do cone. A área de superfície de um cone é a soma da área da base e da área lateral. A fórmula é:
Onde
é a geratriz do cone. A geratriz pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, raio e geratriz:
Substituindo
:
Agora, substituindo na fórmula da área de superfície:
Passo 5
Com o volume
e a área de superfície
, vamos substituir esses valores na fórmula da esfericidade:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:
Agora, aplicando a potência:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Calculando
:
E
. Então:
Resposta
A esfericidade do cone é aproximadamente
.