Calcular a esfericidade de: Um cone com diâmetro da base igual à altura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a esfericidade de um cone onde o diâmetro da base é igual à altura. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Espacial, especificamente sobre volumes e áreas de superfícies. Vamos precisar lembrar as fórmulas para o volume e a área de superfície de um cone, além da definição de esfericidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é esfericidade. A esfericidade ( Phi = pi^1/3 (6V)^2/3A ) é uma medida que compara a forma de um objeto com a de uma esfera. Quanto mais próximo de 1, mais esférico é o objeto. A fórmula para calcular a esfericidade é:
Onde:
  • é o volume do objeto,
  • é a área de superfície do objeto.

Passo 3

Vamos começar calculando o volume ( V = 13 pi r^2 h ) do cone. A fórmula do volume de um cone é:
r = d2 = h2
Nesse problema, nos dizem que o diâmetro da base é igual à altura ( V = 13 pi (h2)^2 h = 13 pi h^24 h = 112 pi h^3 ). Sabendo que o raio ( ) é a metade do diâmetro, temos:
Substituindo na fórmula do volume:

Passo 4

Agora, vamos calcular a área de superfície ( A = pi r^2 + pi r l ) do cone. A área de superfície de um cone é a soma da área da base e da área lateral. A fórmula é:
l = raizr^2 + h^2
Onde l = raiz(h2)^2 + h^2 = raizh^24 + h^2 = raiz5h^24 = hraiz52 é a geratriz do cone. A geratriz pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, raio e geratriz:
A = pi (h2)^2 + pi (h2) (hraiz52) = pi h^24 + pi h^2 raiz54 = pi h^2 (1 + raiz5)4
Substituindo :
Agora, substituindo na fórmula da área de superfície:

Passo 5

Com o volume Phi = pi^1/3 (6V)^2/3A = pi^1/3 (6 times 112 pi h^3)^2/3pi h^2 (1 + raiz5)4 e a área de superfície 6 times 112 = 612 = 12 , vamos substituir esses valores na fórmula da esfericidade:
Phi = pi^1/3 (12 pi h^3)^2/3pi h^2 (1 + raiz5)4 = pi^1/3 (pi h^32)^2/3pi h^2 (1 + raiz5)4
Simplificando dentro dos parênteses:
(pi h^32)^2/3 = pi^2/3 h^22^2/3
Então:
Phi = pi^1/3 times pi^2/3 h^22^2/3pi h^2 (1 + raiz5)4 = pi^1/3 + 2/3 h^22^2/3 times 4pi h^2 (1 + raiz5) = pi h^22^2/3 times 4pi h^2 (1 + raiz5)
Agora, aplicando a potência:
Phi = 42^2/3 (1 + raiz5)
Substituindo de volta:
2^2/3 approx 1.5874
Simplificando:
Phi approx 41.5874 times 3.2361 approx 45.146 approx 0.7789
Calculando :
E . Então:

Resposta

A esfericidade do cone é aproximadamente .

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