Uma amostra representativa de uma população de partículas possui distribuição cumulativa baseada na área superficial FS que pode ser aproximada pela seguinte função:
cc FS=(D45)^2, & D <= 45 mu m FS=1, & D>45 mu m
Converta essa distribuição FS e obtenha as expressões para: Determine os fatores de forma em volume (alphaV) e em área superficial (alphaS) relacionados ao tamanho característico escolhido D.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma distribuição cumulativa baseada na área superficial para uma amostra de partículas. A função está dividida em duas partes, dependendo do tamanho característico . Nosso objetivo aqui é converter essa distribuição e encontrar as expressões para os fatores de forma em volume ( ) e em área superficial ( ) relacionados a . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições cumulativas e como calcular fatores de forma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição cumulativa. A distribuição cumulativa FS = (D45)^2 para D <= 45 , mu m nos dá a fração acumulada da população de partículas que tem uma área superficial menor ou igual a um certo valor. No nosso caso, FS = 1 para D > 45 , mu m está definido de duas maneiras dependendo de :
Isso significa que para partículas com menor ou igual a 45 micrômetros, a fração acumulada é proporcional ao quadrado de dividido por 45 ao quadrado. Acima de 45 micrômetros, toda a população está incluída, então .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o fator de forma em volume ( alphaV = lang<= V rang<=Vref ) e em área superficial ( alphaS = lang<= S rang<=Sref ) são usados para caracterizar a forma das partículas em relação ao volume e à área superficial, respectivamente. Eles são definidos como:
Onde:
  • é o volume médio das partículas.
  • é o volume de referência, geralmente baseado em uma partícula de forma característica.
  • é a área superficial média das partículas.
  • é a área superficial de referência.
Para encontrar essas médias, precisamos integrar sobre a distribuição de tamanho das partículas.

Passo 4

Primeiro, vamos expressar a densidade de probabilidade a partir da função de distribuição cumulativa fS(D) = dFSdD . A densidade de probabilidade fS(D) = ddD ( D45 )^2 = 2 cdot D45^2 = 2D2025 é a derivada de fS(D) = 0 em relação a :
Para :
Para , como :
Agora sabemos como a probabilidade está distribuída em função de .

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume médio V = pi6 D^3 . Supondo que as partículas sejam esféricas, o volume de uma partícula é dado por:
lang<= V rang<= = integral0^45 V cdot fS(D) , dD = integral0^45 pi6 D^3 cdot 2D2025 , dD
A média do volume é então:
lang<= V rang<= = pi6 cdot 22025 integral0^45 D^4 , dD = pi6 cdot 22025 cdot [ D^55 ]0^45
Simplificando:
lang<= V rang<= = pi6 cdot 22025 cdot 45^55
Calculando a integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a área superficial média S = pi D^2 . Para partículas esféricas, a área superficial é:
lang<= S rang<= = integral0^45 S cdot fS(D) , dD = integral0^45 pi D^2 cdot 2D2025 , dD
Então, a média da área superficial é:
lang<= S rang<= = pi cdot 22025 integral0^45 D^3 , dD = pi cdot 22025 cdot [ D^44 ]0^45
Simplificando:
lang<= S rang<= = pi cdot 22025 cdot 45^44
Calculando a integral:

Passo 7

Agora que temos alphaV = lang<= V rang<=Vref e alphaS = lang<= S rang<=Sref e alphaV = lang<= V rang<=pi6 D^3 = pi6 cdot 22025 cdot 45^55pi6 D^3 = 2 cdot 45^52025 cdot 5 D^3 , vamos definir os fatores de forma em volume ( alphaS = lang<= S rang<=pi D^2 = pi cdot 22025 cdot 45^44pi D^2 = 2 cdot 45^42025 cdot 4 D^2 ) e em área superficial ( alphaV = 2 cdot 45^52025 cdot 5 D^3 = 2 cdot 45^42025 cdot D^3 ):
alphaS = 2 cdot 45^42025 cdot 4 D^2 = 45^44050 D^2
Assumindo que e , temos:
Simplificando as expressões:

Resposta

Os fatores de forma em volume e em área superficial relacionados ao tamanho característico alphaV = 2 cdot 45^42025 cdot D^3 são:
alphaS = 45^44050 cdot D^2

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