Uma amostra representativa de uma população de partículas possui distribuição cumulativa baseada na área superficial
que pode ser aproximada pela seguinte função:
Converta essa distribuição
e obtenha as expressões para: Determine os fatores de forma em volume
e em área superficial
relacionados ao tamanho característico escolhido
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma distribuição cumulativa baseada na área superficial
para uma amostra de partículas. A função está dividida em duas partes, dependendo do tamanho característico
. Nosso objetivo aqui é converter essa distribuição
e encontrar as expressões para os fatores de forma em volume (
) e em área superficial (
) relacionados a
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições cumulativas e como calcular fatores de forma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição cumulativa. A distribuição cumulativa
nos dá a fração acumulada da população de partículas que tem uma área superficial menor ou igual a um certo valor. No nosso caso,
está definido de duas maneiras dependendo de
:
Isso significa que para partículas com
menor ou igual a 45 micrômetros, a fração acumulada é proporcional ao quadrado de
dividido por 45 ao quadrado. Acima de 45 micrômetros, toda a população está incluída, então
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o fator de forma em volume (
) e em área superficial (
) são usados para caracterizar a forma das partículas em relação ao volume e à área superficial, respectivamente. Eles são definidos como:
Onde:
-
é o volume médio das partículas. -
é o volume de referência, geralmente baseado em uma partícula de forma característica. -
é a área superficial média das partículas. -
é a área superficial de referência.
Para encontrar essas médias, precisamos integrar sobre a distribuição de tamanho das partículas.
Passo 4
Primeiro, vamos expressar a densidade de probabilidade a partir da função de distribuição cumulativa
. A densidade de probabilidade
é a derivada de
em relação a
:
Para
:
Para
, como
:
Agora sabemos como a probabilidade está distribuída em função de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o volume médio
. Supondo que as partículas sejam esféricas, o volume de uma partícula é dado por:
A média do volume é então:
Simplificando:
Calculando a integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área superficial média
. Para partículas esféricas, a área superficial é:
Então, a média da área superficial é:
Simplificando:
Calculando a integral:
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos definir os fatores de forma em volume (
) e em área superficial (
):
Assumindo que
e
, temos:
Simplificando as expressões:
Resposta
Os fatores de forma em volume e em área superficial relacionados ao tamanho característico
são: