As equações que fornecem a curva de distribuição em número para um material em pó são:
cl d FNd D=D, & 0
(D em mu m)
Esboce as curvas de distribuição cumulativa F de número (FN), superfície (FS) e massa (FM). Explique a diferença entre as curvas. Explique brevemente como os dados necessários para a construção desses curvas podem ser obtidas experimentalmente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas equações diferenciais que descrevem como a distribuição cumulativa em número ( FN) varia com o diâmetro das partículas ( D) em um material em pó. Nosso objetivo é esboçar três curvas de distribuição cumulativa: por número ( FN), por superfície ( FS) e por massa ( FM). Além disso, precisamos explicar as diferenças entre essas curvas e como obter esses dados na prática. Para resolver isso, vamos precisar integrar as equações dadas e entender como cada tipo de distribuição funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na distribuição cumulativa em número, FN. A equação nos dá a derivada de FN em relação a D para dois intervalos de diâmetro:
Para 0 < D <= 10:
d FNd D = D
Para 10 < D <= 100:
d FNd D = 100.000D^4
Para encontrar FN(D), precisamos integrar essas expressões em cada intervalo.

Passo 3

Vamos começar integrando para o primeiro intervalo ( 0 < D <= 10):
FN(D) = integral D , dD = 12 D^2 + C
Como queremos que a distribuição comece em zero quando D = 0, podemos determinar que C = 0. Portanto:
FN(D) = 12 D^2 para 0 < D <= 10

Passo 4

Agora, vamos integrar para o segundo intervalo ( 10 < D <= 100):
FN(D) = integral 100.000D^4 , dD = 100.000 cdot integral D^-4 , dD = 100.000 cdot ( -13 D^3 ) + C
Simplificando:
FN(D) = -100.0003 D^3 + C para 10 < D <= 100

Passo 5

Para determinar a constante C, precisamos garantir que FN(D) seja contínuo em D = 10. Calculando FN(10) no primeiro intervalo:
FN(10) = 12 times 10^2 = 50
Agora, igualamos isso à expressão do segundo intervalo em D = 10:
50 = -100.0003 times 10^3 + C 50 = -100.00030.000 + C 50 = -103 + C C = 50 + 103 = 1603 approx 53,333
Então, a expressão para FN(D) no segundo intervalo é:
FN(D) = -100.0003 D^3 + 1603 para 10 < D <= 100

Passo 6

Agora que temos FN(D), podemos esboçar a curva de distribuição cumulativa por número. A curva começará na origem, aumentando de forma quadrática até D = 10, e depois diminuirá conforme a função cúbica no intervalo de 10 < D <= 100.

Passo 7

Para as distribuições por superfície ( FS) e por massa ( FM), precisamos considerar que a superfície e a massa de uma partícula estão relacionadas ao seu diâmetro de maneiras diferentes. Geralmente:
  • A superfície de uma partícula é proporcional a D^2.
  • A massa de uma partícula é proporcional a D^3.
Portanto, as distribuições cumulativas por superfície e massa serão obtidas ponderando FN(D) por essas relações.

Passo 8

Vamos definir as distribuições:
  • Distribuição por superfície ( FS):
FS(D) = integral D^2 cdot dFNdD , dD
  • Distribuição por massa ( FM):
FM(D) = integral D^3 cdot dFNdD , dD
Calculando essas integrais em cada intervalo de D, obteremos as formas das curvas de FS e FM.

Passo 9

Após realizar as integrações, teremos três curvas cumulativas distintas:
  • FN (Número): Representa a fração acumulada de partículas até um determinado diâmetro.
  • FS (Superfície): Representa a fração acumulada da área superficial das partículas.
  • FM (Massa): Representa a fração acumulada da massa das partículas.
A diferença entre as curvas está na forma como cada propriedade (número, superfície, massa) pondera o diâmetro das partículas.

Passo 10

Para obter esses dados experimentalmente, podemos utilizar técnicas como:
  • Análise por peneiramento: Separa partículas por diferentes tamanhos usando uma série de peneiras.
  • Difração a laser: Usa a dispersão de luz para determinar a distribuição de tamanhos das partículas.
  • Microscopia eletrônica: Permite visualizar e medir o diâmetro das partículas diretamente.
Esses métodos fornecem as informações necessárias sobre a distribuição de diâmetros, que podem ser usadas para construir as curvas de distribuição cumulativa.

Resposta

As curvas de distribuição cumulativa por número ( FN), superfície ( FS) e massa ( FM) foram esboçadas integrando as equações fornecidas. Cada curva reflete como a fração acumulada de partículas, área superficial e massa se distribuem em função do diâmetro das partículas. As diferenças entre elas são resultantes das diferentes proporções com que número, superfície e massa dependem do diâmetro. Experimentalmente, esses dados podem ser obtidos através de técnicas como peneiramento, difração a laser ou microscopia eletrônica, que permitem medir e analisar a distribuição de tamanhos das partículas em um material em pó.

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