As equações que fornecem a curva de distribuição em número para um material em pó são:
Esboce as curvas de distribuição cumulativa
de número
, superfície
e massa
. Explique a diferença entre as curvas. Explique brevemente como os dados necessários para a construção desses curvas podem ser obtidas experimentalmente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas equações diferenciais que descrevem como a distribuição cumulativa em número (
) varia com o diâmetro das partículas (
) em um material em pó. Nosso objetivo é esboçar três curvas de distribuição cumulativa: por número (
), por superfície (
) e por massa (
). Além disso, precisamos explicar as diferenças entre essas curvas e como obter esses dados na prática. Para resolver isso, vamos precisar integrar as equações dadas e entender como cada tipo de distribuição funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na distribuição cumulativa em número,
. A equação nos dá a derivada de
em relação a
para dois intervalos de diâmetro:
Para
:
Para
:
Para encontrar
, precisamos integrar essas expressões em cada intervalo.
Passo 3
Vamos começar integrando para o primeiro intervalo (
):
Como queremos que a distribuição comece em zero quando
, podemos determinar que
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos integrar para o segundo intervalo (
):
Simplificando:
Passo 5
Para determinar a constante
, precisamos garantir que
seja contínuo em
. Calculando
no primeiro intervalo:
Agora, igualamos isso à expressão do segundo intervalo em
:
Então, a expressão para
no segundo intervalo é:
Passo 6
Agora que temos
, podemos esboçar a curva de distribuição cumulativa por número. A curva começará na origem, aumentando de forma quadrática até
, e depois diminuirá conforme a função cúbica no intervalo de
.
Passo 7
Para as distribuições por superfície (
) e por massa (
), precisamos considerar que a superfície e a massa de uma partícula estão relacionadas ao seu diâmetro de maneiras diferentes. Geralmente:
- A superfície de uma partícula é proporcional a
. - A massa de uma partícula é proporcional a
.
Portanto, as distribuições cumulativas por superfície e massa serão obtidas ponderando
por essas relações.
Passo 8
Vamos definir as distribuições:
- Distribuição por superfície (
):
- Distribuição por massa (
):
Calculando essas integrais em cada intervalo de
, obteremos as formas das curvas de
e
.
Passo 9
Após realizar as integrações, teremos três curvas cumulativas distintas:
-
(Número): Representa a fração acumulada de partículas até um determinado diâmetro. -
(Superfície): Representa a fração acumulada da área superficial das partículas. -
(Massa): Representa a fração acumulada da massa das partículas.
A diferença entre as curvas está na forma como cada propriedade (número, superfície, massa) pondera o diâmetro das partículas.
Passo 10
Para obter esses dados experimentalmente, podemos utilizar técnicas como:
- Análise por peneiramento: Separa partículas por diferentes tamanhos usando uma série de peneiras.
- Difração a laser: Usa a dispersão de luz para determinar a distribuição de tamanhos das partículas.
- Microscopia eletrônica: Permite visualizar e medir o diâmetro das partículas diretamente.
Esses métodos fornecem as informações necessárias sobre a distribuição de diâmetros, que podem ser usadas para construir as curvas de distribuição cumulativa.
Resposta
As curvas de distribuição cumulativa por número (
), superfície (
) e massa (
) foram esboçadas integrando as equações fornecidas. Cada curva reflete como a fração acumulada de partículas, área superficial e massa se distribuem em função do diâmetro das partículas. As diferenças entre elas são resultantes das diferentes proporções com que número, superfície e massa dependem do diâmetro. Experimentalmente, esses dados podem ser obtidos através de técnicas como peneiramento, difração a laser ou microscopia eletrônica, que permitem medir e analisar a distribuição de tamanhos das partículas em um material em pó.