Um engenheiro precisa do fator de forma em área superficial (alphaS) dessas partículas. A partir dos dados experimentais, obtenha o valor do fator de forma alphas. Dados: O volume total das partículas analisadas, a área superficial total, e o fator de forma volumétrico foram previamente determinados, sendo iguais a, respectivamente, 2,87 times 10^8 mu m^3, 4,64 times 10^6 mu m^2 e 0,834 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O engenheiro quer descobrir o fator de forma em área superficial das partículas. Estamos trabalhando com geomorfometria aqui, que estuda as formas das partículas analisando o volume e a área superficial. Para isso, vamos precisar usar os dados fornecidos: o volume total das partículas ( ), a área superficial total ( ) e o fator de forma volumétrico .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os fatores de forma alphaV = VrealVesfera e alphaS = ArealAesfera . Esses fatores comparam a forma real das partículas com a forma de uma esfera perfeita. Para uma esfera, e são iguais a 1. Valores diferentes de 1 indicam que a forma das partículas é diferente de esférica.
Matematicamente, os fatores de forma são definidos como:
Onde:
  • e são o volume e a área superficial das partículas reais.
  • e são o volume e a área superficial de uma esfera com o mesmo diâmetro médio das partículas.

Passo 3

Precisamos relacionar Vesfera = pi d^36 e Aesfera = pi d^2 para encontrar alphaV = Vrealpi d^36 Rightarrow Vreal = alphaV cdot pi d^36 . Para isso, vamos expressar o volume e a área superficial em termos do diâmetro médio das partículas.
O volume de uma esfera é dado por:
alphaS = Arealpi d^2 Rightarrow Areal = alphaS cdot pi d^2
E a área superficial de uma esfera é:
Onde é o diâmetro da esfera.
Agora, podemos reescrever os fatores de forma:

Passo 4

Vamos relacionar Vreal = alphaV cdot pi d^36 e Areal = alphaS cdot pi d^2 :
VrealAreal = alphaV cdot pi d^36alphaS cdot pi d^2 = alphaV cdot d6 alphaS
VrealAreal = alphaV cdot d6 alphaS
Dividindo alphaS = alphaV cdot d6 cdot VrealAreal por :
Simplificando:
Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Precisamos encontrar o diâmetro médio Vreal = alphaV cdot pi d^36 Rightarrow d^3 = 6 VrealalphaV pi . Para isso, vamos usar as fórmulas de volume e área superficial de uma esfera.
Primeiro, resolvemos para d = ( 6 VrealalphaV pi )^13 usando o volume:
d = ( 6 times 2,87 times 10^8 mu m^30,834 times pi )^13
Agora, substituímos os valores:

Passo 6

Calculando 6 times 2,87 times 10^8 = 1,722 times 10^9 mu m^3 :
Primeiro, calculamos o numerador:
1,722 times 10^90,834 times pi approx 1,722 times 10^92,621 approx 6,569 times 10^8 mu m^3
Agora, dividimos pelo denominador:
d = (6,569 times 10^8)^13 approx 8,76 times 10^2 mu m
Agora, extraímos a raiz cúbica:
d approx 876 mu m

Passo 7

Agora que temos o diâmetro médio alphaS = alphaV cdot d6 cdot VrealAreal = 0,834 times 8766 times 2,87 times 10^84,64 times 10^6 , vamos calcular 2,87 times 10^84,64 times 10^6 approx 61,86 mu m usando a fórmula que encontramos:
alphaS = 0,834 times 8766 times 61,86 = 730,464371,16 approx 1,967
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos:

Resposta

O fator de forma em área superficial das partículas é aproximadamente 1,967.

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