Uma amostra representativa de uma população de partículas possui distribuição cumulativa baseada na área superficial
que pode ser aproximada pela seguinte função:
O número de partículas analisadas foi de 225. A área superficial total (de todas as partículas analisadas) foi de
, e o volume total foi de
, .
d) Você acha que as partículas analisadas podem ser consideradas esféricas? Se sim, quais os diâmetros equivalentes de área superficial e de volume delas? Se não, também justifique.
d) Você acha que as partículas analisadas podem ser consideradas esféricas? Se sim, quais os diâmetros equivalentes de área superficial e de volume delas? Se não, também justifique.
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender o que o enunciado pede. A gente tem uma amostra de 225 partículas, mediu a área superficial total delas (493,152 μm²) e o volume total (2 840,460 μm³). A questão d) pergunta se dá pra tratar essas partículas como esferas. Se der, calcula o diâmetro “equivalente” baseado na área e também o “equivalente” baseado no volume. Se não der, explica o porquê.
Conteúdo que vamos usar: fórmula da área de uma esfera (S = π D²) e fórmula do volume de uma esfera (V = π D³/6). Aí a gente resolve pra D em cada caso e compara.
Conteúdo que vamos usar: fórmula da área de uma esfera (S = π D²) e fórmula do volume de uma esfera (V = π D³/6). Aí a gente resolve pra D em cada caso e compara.
Passo 2
Calcular o diâmetro equivalente de área superficial
- Para uma esfera, a área é
2) Aqui a área total medida (toda somada) é
- Basta isolar D:
4) Numericamente, usando
Passo 3
Calcular o diâmetro equivalente de volume
- Para uma esfera, o volume é
2) O volume total medido é
- Isolando D:
$$D_{\rm volume} = \left(\frac{6,V_{\rm tot}}{\pi}\right)^{1/3}
= \left(\frac{6\times2,840{,}460}{\pi}\right)^{1/3};\mu m.
\frac{6\times2,840{,}460}{\pi}\approx5,424{,}2,\quad
D_{\rm volume}\approx\bigl(5,424{,}2\bigr)^{1/3}\approx17{,}6;\mu m.$$
Passo 4
Comparando os dois diâmetros:
- Dₐᵣₑₐ≈12,53 μm
- Dᵥₒₗᵤₘₑ≈17,6 μm
Se todas as partículas fossem esferas de um mesmo diâmetro, esses dois resultados teriam de bater (eles vêm da mesma forma geométrica). Como dá uma diferença grande (~40 %), não dá pra dizer que elas são esféricas com um diâmetro único.
Resposta
Não, as partículas não podem ser consideradas esféricas, pois o diâmetro equivalente obtido pela área (≈12,53 μm) difere bastante daquele obtido pelo volume (≈17,6 μm).