Uma amostra representativa de uma população de partículas possui distribuição cumulativa baseada na área superficial FS que pode ser aproximada pela seguinte função:
O número de partículas analisadas foi de 225. A área superficial total (de todas as partículas analisadas) foi de cc FS=(D45)^2, & D <= 45 mu m FS=1, & D>45 mu m , e o volume total foi de 493.152 mu m^2, .
d) Você acha que as partículas analisadas podem ser consideradas esféricas? Se sim, quais os diâmetros equivalentes de área superficial e de volume delas? Se não, também justifique.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o enunciado pede. A gente tem uma amostra de 225 partículas, mediu a área superficial total delas (493,152 μm²) e o volume total (2 840,460 μm³). A questão d) pergunta se dá pra tratar essas partículas como esferas. Se der, calcula o diâmetro “equivalente” baseado na área e também o “equivalente” baseado no volume. Se não der, explica o porquê.
Conteúdo que vamos usar: fórmula da área de uma esfera (S = π D²) e fórmula do volume de uma esfera (V = π D³/6). Aí a gente resolve pra D em cada caso e compara.

Passo 2

Calcular o diâmetro equivalente de área superficial
  1. Para uma esfera, a área é
S = pi D^2
2) Aqui a área total medida (toda somada) é
Srm tot = 493,152;mu m^2
  1. Basta isolar D:
Drm área = raizSrm totpi = raiz493,152pi;mu má
4) Numericamente, usando Drm área = raiz493,1523,1416 approx raiz157,0approx12,53;mu m:
á

Passo 3

Calcular o diâmetro equivalente de volume
  1. Para uma esfera, o volume é
V = pi6,D^3
2) O volume total medido é
Vrm tot = 2,840,460;mu m^3
  1. Isolando D:
$$D_{\rm volume} = \left(\frac{6,V_{\rm tot}}{\pi}\right)^{1/3}
= \left(\frac{6\times2,840{,}460}{\pi}\right)^{1/3};\mu m. Drm volume = (6,Vrm totpi)^1/3 = (6times2,840,460pi)^1/3;mu m\frac{6\times2,840{,}460}{\pi}\approx5,424{,}2,\quad
D_{\rm volume}\approx\bigl(5,424{,}2\bigr)^{1/3}\approx17{,}6;\mu m.$$

Passo 4

Comparando os dois diâmetros:
  • Dₐᵣₑₐ≈12,53 μm
  • Dᵥₒₗᵤₘₑ≈17,6 μm
Se todas as partículas fossem esferas de um mesmo diâmetro, esses dois resultados teriam de bater (eles vêm da mesma forma geométrica). Como dá uma diferença grande (~40 %), não dá pra dizer que elas são esféricas com um diâmetro único.

Resposta

Não, as partículas não podem ser consideradas esféricas, pois o diâmetro equivalente obtido pela área (≈12,53 μm) difere bastante daquele obtido pelo volume (≈17,6 μm).

Exercícios relacionados