Os resultados abaixo foram obtidos por peneiramento. Apresente os resultados em termos de:
b) Uma distribuição cumulativa baseada em número (FN)
Tamanho de peneira (mu m) Massa retida na peneira (g)
500 2,46
420 5,11
355 11,52
300 11,88
250 11,43
210 5,51
Panela 1,94

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem os resultados do peneiramento (tamanho da peneira x massa retida) e nos pede para elaborar a distribuição cumulativa baseada em número, chamada .
O conteúdo aqui é Análise Granulométrica, mais especificamente como a gente passa de uma distribuição em massa para uma distribuição em número de partículas.
Para resolver isso, vamos fazer o seguinte:
  1. Escolher um diâmetro representativo para cada fração (a gente normalmente usa a média geométrica entre as aberturas de duas peneiras consecutivas).
  2. Assumir que as partículas são esferas de densidade constante (ou seja, número de partículas em cada fração é proporcional à massa dividida pelo volume de uma partícula).
  3. Calcular para cada fração um valor relativo de número de partículas .
  4. Somar tudo e montar a função cumulativa
    A partir do Passo 2 começamos de fato a deixar a mão na massa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o diâmetro representativo di = raizDsuperiortimes Dinferior de cada fração como a média geométrica da abertura da peneira onde ficou retido (por exemplo, para a fração 500–420 µm):
d1 &= raiz500cdot 420approx 458,3;mu m, d2 &= raiz420cdot 355approx 386,2;mu m, d3 &= raiz355cdot 300approx 325,9;mu m, d4 &= raiz300cdot 250approx 273,9;mu m, d5 &= raiz250cdot 210approx 229,1;mu m
Então calculamos:
(A fração “Panela” a gente ignora nessa conta porque não há limite inferior definido para fazer a média geométrica com zero.)

Passo 3

Agora a teoria: Se as partículas são esferas e têm densidade igual, o número de partículas ni ;propto; midi^3 é proporcional à massa retida n1 &= 2,46458,3^3 approx 2,56times10^-8, n2 &= 5,11386,2^3 approx 8,86times10^-8, n3 &= 11,52325,9^3approx 3,33times10^-7, n4 &= 11,88273,9^3approx 5,78times10^-7, n5 &= 11,43229,1^3approx 9,51times10^-7 dividida pelo volume de uma esfera de diâmetro . Como a densidade e o fator são constantes iguais para todas, cai tudo em . Assim:
Vamos calcular os relativos (em unidades arbitrárias) usando em gramas e em micrômetros:

Passo 4

Somamos todos esses números para achar o total relativo:
Nrm total = sumi=1^5 ni approx 1,976times10^-6
A partir daí, a cumulativa FN(di) = sumj=1^i njNrm totaltimes100% até cada peneira é

Passo 5

Basta ir acumulando:
FN(500) &= n1Nrm totaltimes100%approx 2,56times10^-81,976times10^-6times100%approx1,3%, FN(420) &= n1+n2Nrm totaltimes100%approx5,8%, FN(355) &approx22,6%, FN(300) &approx51,9%, FN(250) &approx100%

Resposta

A distribuição cumulativa baseada em número (aproximada, sem considerar a fração “Panela”) fica:
500 µm → 1,3 %
420 µm → 5,8 %
355 µm → 22,6 %
300 µm → 51,9 %
250 µm → 100 %

Exercícios relacionados